Quantification pour les paires symétriques et diagrammes de Kontsevich

Cattaneo, Alberto S.; Torossian, Charles

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 5, pp. 789-854.

In this article we use the expansion for biquantization described in [7] for the case of symmetric spaces. We introduce a function of two variables $E(X,Y)$ for any symmetric pairs. This function has an expansion in terms of Kontsevich’s diagrams. We recover most of the known results though in a more systematic way by using some elementary properties of this $E$ function. We prove that Cattaneo and Felder’s star product coincides with Rouvière’s for any symmetric pairs. We generalize some of Lichnerowicz’s results for the commutativity of the algebra of invariant differential operators and solve a long standing problem posed by M. Duflo for the expression of invariant differential operators on any symmetric spaces in exponential coordinates. We describe the Harish-Chandra homomorphism in the case of symmetric spaces by using all these constructions. We develop a new method to construct characters for algebras of invariant differential operators. We apply these methods in the case of $\sigma$-stable polarizations.

Dans cet article nous appliquons les méthodes de bi-quantification décrites dans [7] au cas des espaces symétriques. Nous introduisons une fonction $E(X,Y)$, définie pour toutes paires symétriques, en termes de graphes de Kontsevich. Les propriétés de cette fonction permettent de démontrer de manière unifiée des résultats importants dans le cas des paires symétriques résolubles ou quadratiques. Nous montrons que le star-produit décrit dans [7] coïncide, pour toute paire symétrique, avec celui de Rouvière. On généralise un résultat de Lichnerowicz sur la commutativité d’algèbres d’opérateurs différentiels invariants et on résout un problème de M. Duflo sur l’écriture, en coordonnées exponentielles, des opérateurs différentiels invariants sur tout espace symétrique. On décrit l’homomorphisme d’Harish-Chandra en termes de graphes de Kontsevich. On développe une théorie nouvelle pour construire des caractères des algèbres d’opérateurs différentiels invariants. On applique ces méthodes dans le cas des polarisations $\sigma$-stables.

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