Analyse de sensibilité d’un problème de contrôle optimal bilinéaire

Clérin, Jean-Marc

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 19 (2012) no. 1, pp. 177-196.

Dans cet article, nous étudions la sensibilité d’un problème de contrôle optimal de type bilinéaire. Le coût est différentiable, quadratique et strictement convexe. Le système est gouverné par un opérateur parabolique du quatrième ordre et présente une perturbation additive dans l’équation d’état, ainsi qu’une partie bilinéaire, relativement au contrôle $u$ et à l’état $z$, de la forme $(u·\nabla )z$. Sous des conditions de petitesse de l’état initial et de la perturbation, nous exploitons les propriétés de régularité et d’unicité du contrôle optimal pour démontrer la stabilité de la fonction valeur optimale. La formule des dérivées directionnelles en zéro de la valeur optimale est explicitée.

In this paper, we study the sensitivity of an optimal control problem of bilinear type. The cost is differentiable, strictly convex and quadratic. The system is governed by a fourth order parabolic operator and has an additive perturbation in the state equation, and a bilinear part with respect to the control $u$ and the state $z$ of the form $(u·\nabla )z$. Under conditions of smallness of the initial state and perturbation, we exploit the properties of regularity and uniqueness of optimal control to demonstrate the stability of the optimal value function. The formula for directional derivatives at zero of the optimal value is explained.

Classification : 35K55, 49K20, 49K40
Mot clés : contrôle optimal bilinéaire, bilaplacien, équations paraboliques, contraintes sur l’état, conditions d’optimalité du second ordre, analyse de sensibilité, valeur optimale
Keywords: bilinear optimal control, bilaplacian, parabolic equations, state constraints, second-order optimality conditions, sensitivity analysis, value function

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