Inégalités pour l’opérateur intégral fractionnaire sur différents espaces métriques mesurés

Mascré, David

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 18 (2011) no. 2, pp. 273-300.

Le but de cet article est d’étendre les résultats classiques (inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, inégalité de Hedberg) sur l’intégrale fractionnaire à deux types différents d’espaces métriques mesurés : les espaces métriques mesurés à mesure doublante d’une part, les espaces métriques mesurés à croissance polynomiale du volume d’autre part. Les deux résultats principaux que nous obtenons sont les suivants :

Etant donné $(X,\rho ,\mu )$ un espace métrique mesuré de type homogène, étant donnés $p,q,\alpha \in \mathbf{R}$ tels que $1\le p<1/\alpha$, $1/q=1/p-\alpha$, $0<\alpha <1$, l’opérateur intégral fractionnaire $T_{\alpha }$ défini en posant $T_{\alpha }f\left(x\right)={\int }_{X}V{(x,y)}^{\alpha -1}f\left(y\right)d\mu \left(y\right)$ vérifie :

Si $p>1$, alors

$$T_{\alpha }:L^p\left(X\right)\to L^q\left(X\right).$$

Si $p=1$, alors

$$T_{\alpha }:L^1\left(X\right)\to L^{q,\infty }\left(X\right).$$

Etant donné un espace métrique mesuré de Vitali $(X,\rho ,\mu )$ tel que $\forall x\in X$,

$$V(x,r)\le c{r}^d,\forall r<1\text{et}V(x,r)\le c{r}^D,\forall r\ge 1,$$

étant donné $p,q,a,n\in \mathbf{R}$ tels que $1\le p<n/a$, $1/q=1/p-a/n$,$d\le n\le D$, étant donnée $k_a:X\times X\to \mathbf{R}$ une fonction mesurable vérifiant les conditions de croissance (en $0$ et en $+\infty$) suivantes

(i) $k_a(x,y)\le c\rho {(x,y)}^{a-d}\forall x,y\in X$ tels que $\rho (x,y)<1$,

(ii) $k_a(x,y)\le c\rho {(x,y)}^{a-D}\forall x,y\in X$ tels que $\rho (x,y)\ge 1$,

l’opérateur intégral fractionnaire $I_a$ associé au noyau $k_a$ vérifie :

Si $p>1$,

$$I_a:L^p\left(X\right)\to L^q\left(X\right).$$

Si $p=1$,

$$I_a:L^1\left(X\right)\to L^{q,\infty }\left(X\right).$$

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