Les $(a,b)$-algèbres à homotopie près

Aloulou, Walid

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 17 (2010) no. 1, pp. 97-151.

On étudie dans cet article les notions d’algèbre à homotopie près pour une structure définie par deux opérations $\text{.}$ et $[,]$. Ayant déterminé la structure des $G_{\infty }$ algèbres et des $P_{\infty }$ algèbres, on généralise cette construction et on définit la stucture des $(a,b)$-algèbres à homotopie près. Etant donnée une structure d’algèbre commutative et de Lie différentielle graduée pour deux décalages des degrés donnés par $a$ et $b$, on donnera une construction explicite de l’algèbre à homotopie près associée et on précisera la relation entre les $(a,b)$-algèbres et les algèbres sur l’homologie de l’opérade des petits cubes en toute dimension.

We study in this article the concepts of algebra up to homotopy for a structure defined by two operations $\text{.}$ and $[,]$. Having determined the structure of $G_{\infty }$ algebras and $P_{\infty }$ algebras, we generalize this construction and we define a structure of $(a,b)$-algebra up to homotopy. Given a structure of commutative and differential graded Lie algebra for two shifts degree given by $a$ and $b$, we will give an explicit construction of the associate algebra up to homotopy and we clarify the relationship between $(a,b)$-algebra and algebra over the operad of little $n+1$-dimensional cubes.

[1] Aloulou, W.; Arnal, D.; Chatbouri, R. Cohomologie de Chevalley des graphes vectoriels, Pacific J of Math, Volume 229 (2007) no. 2, pp. 257-292 | DOI | MR

[2] Aloulou, W.; Arnal, D.; Chatbouri, R. Algèbres et cogèbres de Gerstenhaber et cohomologies de Chevalley-Harrison, Bulletin des Sciences Mathématiques, Volume 133 (2009) no. 1, pp. 1-50 | DOI | MR | Zbl

[3] Arnal, D.; Manchon, D.; Masmoudi, M. Choix des signes pour la formalité de M. Kontsevich, Pacific J of Math, Volume 203 (2002) no. 1, pp. 23-66 | DOI | MR | Zbl

[4] Azcárraga, J. A.de; Izquierdo, J. M.; Perelemov, A. M.; Pérez-Bueno, J. C. The ${\mathbb{Z}}_2$-graded Schouten-Nijenhuis bracket and generalized super-Poisson structures (1997) (preprint arXiv :hep-th/9612186v2) | Zbl

[5] Basdouri, I.; Ammar, M. Ben Cohomology of $\mathrm{𝔬𝔰𝔭}\left(1\right|2)$ acting on linear differential operators on the supercircle $S^{1|1}$ (2007) (Preprint arXiv :0709.1768v1 [math.RT] 12) | Zbl

[6] Boardman, J. M.; Vogt, R. M. Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 347, Springer-Verlag, Berlin, 1973 | MR | Zbl

[7] Bordemann, M.; Ginot, G.; Halbout, G.; Herbig, H.C.; Waldmann, S. Formalité $G_{\infty }$ adaptée et star-représentations sur des sous variétés coïsotropes (2005) (Preprint arXiv :math.QA/0504276 v 1)

[8] Cattaneo, A. S.; Felder, G. Relative formality theorem and quantisation of coisotropic submanifolds, Adv. Math., Volume 208 (2007) no. 2, pp. 521-548 | DOI | MR | Zbl

[9] Cohen, F. Homology of ${\Omega }^{n+1}{\Sigma }^{n+1}X$ and $C_{n+1}X$, $n>0$, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 79 (1973) no. 6, pp. 1236-1241 | DOI | MR | Zbl

[10] Cohen, R. L.; Voronov, A. A. Notes on string topology, string topology and cyclic homology, Adv. courses Math. CRM Barcelona, Birkhäuser, Basel (2006), pp. 1-95 | MR

[11] Fresse, B. Théorie des opérades de Koszul et homologie des algèbres de Poisson, Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 13 (2006) no. 2, pp. 237-312 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[12] Getzler, E. Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories, Comm. Math. Phys, Volume 159 (1994) no. 2, pp. 265-285 | DOI | MR | Zbl

[13] Getzler, E.; Jones, J.D.S. Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces (1994) (Preprint arXiv :hep-th/9403055)

[14] Ginot, G. Homologie et modèle minimal des algèbres de Gerstenhaber, Annales mathématiques Blaise Pascal, Volume 11 (2004) no. 1, pp. 95-126 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[15] Ginot, G.; Halbout, G. A formality theorem for Poisson manifolds, Lett. Math. Phys., Volume 66 (2003), pp. 37-64 | DOI | MR | Zbl

[16] Kontsevich, M.; Soibelman, Y. Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture, Conférence Moshé Flato 1999, vol I (Dijon), Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (2000), pp. 255-307 | MR | Zbl

[17] Kupershmidt, B. Odd and even Poisson brackets in dynamical systems, Lett. Math. Phys., Volume 9 (1985), pp. 323-330 | DOI | MR | Zbl

[18] Leites, D. A. New superalgebras and mechanics, Sov. Math. Dokl., Volume 18 (1977), pp. 1277-1280 | Zbl

[19] Loday, J.L. Cyclic Homology, 301, Second Edition Grundlerhren der Mathematischen Wissenschaften A series of comprehensive studies in mathematics Springer-Verlag, 1992 | MR | Zbl

[20] MacLane, S. Homology, 114, Grundlerhren der Mathematischen Wissenschaften Springer-Verlag, Berlin, 1963 | MR | Zbl

[21] May, J.P. The geometry of iterated loop spaces, 271, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972 | MR | Zbl

[22] Tamarkin, D. Another proof of M. Kontsevich formality theorem (1998) (Preprint arXiv :math.QA/9803025 v 4)

[23] Tamarkin, D.; Tsygan, B. Noncommutative differential calculus, homotopy BV algebras and formality conjectures, Methods Funct. Anal. Topology, Volume 6 (2000) no. 2, pp. 85-100 | MR | Zbl