Les $(a,b)$-algèbres à homotopie près

Aloulou, Walid

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 17 (2010) no. 1, pp. 97-151.

On étudie dans cet article les notions d’algèbre à homotopie près pour une structure définie par deux opérations $\text{.}$ et $[,]$. Ayant déterminé la structure des $G_{\infty }$ algèbres et des $P_{\infty }$ algèbres, on généralise cette construction et on définit la stucture des $(a,b)$-algèbres à homotopie près. Etant donnée une structure d’algèbre commutative et de Lie différentielle graduée pour deux décalages des degrés donnés par $a$ et $b$, on donnera une construction explicite de l’algèbre à homotopie près associée et on précisera la relation entre les $(a,b)$-algèbres et les algèbres sur l’homologie de l’opérade des petits cubes en toute dimension.

We study in this article the concepts of algebra up to homotopy for a structure defined by two operations $\text{.}$ and $[,]$. Having determined the structure of $G_{\infty }$ algebras and $P_{\infty }$ algebras, we generalize this construction and we define a structure of $(a,b)$-algebra up to homotopy. Given a structure of commutative and differential graded Lie algebra for two shifts degree given by $a$ and $b$, we will give an explicit construction of the associate algebra up to homotopy and we clarify the relationship between $(a,b)$-algebra and algebra over the operad of little $n+1$-dimensional cubes.

Classification : 18G55, 16W30, 17B63, 16E45
Mots clés : Algèbres homotopiques, cogèbres, algèbres de Poisson, algèbres différentielles graduées

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