Existence of strong solutions for nonisothermal Korteweg system

Haspot, Boris

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 2, pp. 431-481.

Ce travail est consacré à l’étude d’un modèle de fluide compressible non isotherme avec un terme de capillarité dérivé par J. E Dunn et J. Serrin (1985) dans [9, 16], qui peut-être utilisé comme un modèle de transition de phase.

Nous distinguons deux cas en fonction que les coefficients physiques ne dépendent que de la densité ou non. Dans le premier cas nous travaillons dans des espaces critiques et prouvons l’existence de solutions fortes proches d’un état d’équilibre. Pour des données grandes on montre l’existence et l’unicité de solutions en temps fini.

Dans le cas général où les coefficients physiques dépendent à la fois de la densité et de la température, des données initiales plus régulières sont nécessaires afin de contrôler la norme $L^{\infty }$ de la température. Nous prouvons alors l’existence de solutions fortes globales avec données petites ainsi que l’existence de solutions fortes avec données initiales grandes sur un intervalle de temps fini.

This work is devoted to the study of the initial boundary value problem for a general non isothermal model of capillary fluids derived by J. E Dunn and J. Serrin (1985) in [9, 16], which can be used as a phase transition model.

We distinguish two cases, when the physical coefficients depend only on the density, and the general case. In the first case we can work in critical scaling spaces, and we prove global existence of solution and uniqueness for data close to a stable equilibrium. For general data, existence and uniqueness is stated on a short time interval.

In the general case with physical coefficients depending on density and on temperature, additional regularity is required to control the temperature in $L^{\infty }$ norm. We prove global existence of solution close to a stable equilibrium and local in time existence of solution with more general data. Uniqueness is also obtained.

Classification : 76N10, 35D05, 35Q05
Keywords: PDE, Harmonic analysis
Mot clés : PDE, Harmonic analysis

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