A discrete version of the Brunn-Minkowski inequality and its stability

Bonnefont, Michel

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 2, pp. 245-257.

Dans une première partie, nous définissons une inégalité de Brunn-Minkowski approchée qui généralise l’inégalité de Brunn-Minkowski classique aux cas des espaces métriques mesurés. Cette nouvelle définition s’applique aussi aux espaces métriques mesurés discrets. Nous montrons alors la stabilité de cette nouvelle inégalité sous la convergence d’espaces métriques mesurés. Nous obtenons en corollaire la stabilité de l’inégalité de Brunn-Minkowski classique pour les espaces géodesiques. Cette stabilité a déjà été montrée pour d’autres inégalités (inégalité de courbure-dimension, propriété de contraction de la mesure) mais, autant que nous sachions, pas pour celle de Brunn-Minkowski.

Dans la seconde partie de l’article, nous montrons que tout espace métrique mesuré satisfaisant l’inégalité de Brunn-Minkowski classique peut être approché par des espaces métriques discrets vérifiant certaines inégalités de Brunn-Minkowski approchées.

In the first part of the paper, we define an approximated Brunn-Minkowski inequality which generalizes the classical one for metric measure spaces. Our new definition, based only on properties of the distance, allows also us to deal with discrete metric measure spaces. Then we show the stability of our new inequality under convergence of metric measure spaces. This result gives as corollary the stability of the classical Brunn-Minkowski inequality for geodesic spaces. The proof of this stability was done for related inequalities (curvature-dimension inequality, metric contraction property) but not for the Brunn-Minkowski one, as far as we know.

In the second part of the paper, we show that every metric measure space satisfying the classical Brunn-Minkowski inequality can be approximated by discrete metric spaces with some approximated Brunn-Minkowski inequalities.

Classification : 52A40, 53C21
Keywords: Brunn-Minkowski inequality, metric measure spaces, $\mathbb{D}$-convergence, Ricci curvature, discretization
Mot clés : Inégalité de Brunn-Minkowski, espaces métriques mesurés, $\mathbb{D}$-convergence, courbure de Ricci, discrétisation

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