Capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{Q}(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})})$ où $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$

Azizi, Abdelmalek; Talbi, Mohammed

doi:10.5802/ambp.253

Capitulation des

2

-classes d’idéaux de

Q (\sqrt{- p q (2 + \sqrt{2})})

où

p \equiv q \equiv \pm 5 mod 8

Azizi, Abdelmalek ¹ ; Talbi, Mohammed ¹

¹ Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 1, pp. 57-69.

Résumé
Abstract

Soient $K = Q (\sqrt{- p q (2 + \sqrt{2})})$ où $p$ et $q$ deux nombres premiers différents tels que $p \equiv q \equiv \pm 5 mod 8$ , $K_{2}^{(1)}$ le $2$ -corps de classes de Hilbert de $K$ , $K_{2}^{(2)}$ le $2$ -corps de classes de Hilbert de $K_{2}^{(1)}$ et $G$ le groupe de Galois de $K_{2}^{(2)} / K$ . D’après [4], la $2$ -partie $C_{2, K}$ du groupe de classes de $K$ est de type $(2, 2)$ , par suite $K_{2}^{(1)}$ contient trois extensions $F_{i} / K$ ; $i = 1, 2, 3$ . Dans ce papier, on s’interesse au problème de capitulation des $2$ -classes d’idéaux de $K$ dans $F_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$ et à déterminer la structure de $G$ .

Let $K = Q (\sqrt{- p q (2 + \sqrt{2})})$ where $p$ and $q$ are two different prime numbers such that $p \equiv q \equiv \pm 5 mod 8$ , $K_{2}^{(1)}$ the Hilbert $2$ -class field of $K$ , $K_{2}^{(2)}$ the Hilbert $2$ -class field of $K_{2}^{(1)}$ and $G$ the Galois group of $K_{2}^{(2)} / K$ . According to [4], $C_{2, K}$ , the Sylow $2$ -subgroup of the ideal class group of $K$ is isomorphic to $Z / 2 Z \times Z / 2 Z$ , consequently $K_{2}^{(1)} / K$ contains three extensions $F_{i} / K$ $(i = 1, 2, 3)$ . In this paper, we are interested in the problem of capitulation of the classes of $C_{2, K}$ in $F_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$ and to determine the structure of $G$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/ambp.253

Classification : 11R27, 11R29, 11R37
Mot clés : Corps Quartiques, Groupes d’Unités, Corps de Classes de Hilbert, Capitulation
Keywords: Quartic Fields, Unit Groups, Hilbert Class Field, Capitulation

Affiliations des auteurs :

Azizi, Abdelmalek ¹ ; Talbi, Mohammed ¹

¹ Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Mohamed 1 Oujda MAROC

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Azizi, Abdelmalek; Talbi, Mohammed. Capitulation des $2$-classes d’idéaux de $\mathbf{Q}(\sqrt{-pq(2+\sqrt{2})})$ où $p\equiv q\equiv \pm 5\;\@mod \;8$. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 1, pp. 57-69. doi : 10.5802/ambp.253. http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.253/

Bibliographie
Cité par

[1] Azizi, A. Unités de certains corps de nombres imaginaires et abéliens sur $Q$ , Annales des Sciences Mathématiques du Québec, Volume 23 (1999), pp. 15-21 | MR | Zbl

[2] Azizi, A. Capitulation des $2$ -classes d’idéaux de $Q (\sqrt{2 p q}, i)$ , Acta Arithmetica, Volume 94 (2000), pp. 383-399 | EuDML | MR | Zbl

[3] Azizi, A.; Mouhib, A. Capitulation des 2-classes d’idéaux de $Q (\sqrt{2}, \sqrt{d})$ où $d$ est un entier naturel sans facteurs carrés, Acta Arithmetica, Volume 109 (2003), pp. 27-63 | DOI | MR | Zbl

[4] Brown, E.; Parry, C. J. The $2$ -class group of certain biquadratic number fields, II, Pac. Jour. of Math., Volume 78 (1978), pp. 11-26 | MR | Zbl

[5] Hasse, H. Neue Begründung der Theorie des Normenrestsymbols, J. Reine Angew. Math., Volume 162 (1930), pp. 134-143 | DOI | EuDML | JFM

[6] Heider, F. P.; Schmithals, B. Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten Primzyklischen Erweiterungen, J. Reine Angew. Math., Volume 366 (1982), pp. 1-25 | EuDML | MR | Zbl

[7] Kaplan, P. Sur le $2$ -groupe des classes d’idéaux des corps quadratiques, J. Reine Angew. Math., Volume 283/284 (1976), pp. 313-363 | DOI | EuDML | MR | Zbl

[8] Kisilevsky, H. Number fields with class number congruent to $4 mod 8$ and Hilbert’s theorem $94$ , J. Number Theory, Volume 8 (1976), pp. 271-279 | DOI | MR | Zbl

[9] Kuroda, S. Über den Dirichletschen Zahlkörper, J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokyo Sec. I, Volume 4 (1943), pp. 383-406 | MR | Zbl

[10] Lemmermeyer, F. Kuroda’s class number formula, Acta Arith., Volume 66 (1994), pp. 245-260 | MR | Zbl

[11] Wada, H. On the class number and the unit group of certain algebraic number fields, Tokyo U. Fac. of Sc. J., Serie I, Volume 13 (1966), pp. 201-209 | MR | Zbl

Cité par Sources :