Résultats d’existence dans des espaces critiques pour le système de la MHD inhomogène

Abidi, Hammadi; Hmidi, Taoufik

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 14 (2007) no. 1, pp. 103-148.

Nous démontrons dans cet article que le système MHD tridimensionnel à densité et viscosité variables est localement bien posé lorsque $({{\rho }_0}^{-1}-1,u_0,B_0)\in {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right),$ pour $p\in ]1,3]$ et la densité initiale est proche d’une constante strictement positive. Nous démontrons également un résultat d’existence et d’unicité dans l’espace de Sobolev $H^{\frac{3}{2}+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)$ pour $\alpha >0,$ sans aucune condition de petitesse sur la densité.

In this article, we show that the 3D MHD system with variable density and viscosity is locally well-posed in the Besov space ${\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right)$ for $1<p\le 3$ and that the initial density approaches a positive constant. Moreover, we prove existence and uniqueness in the Sobolev space $H^{\frac{3}{2}+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)$ for $\alpha >0,$ without smallness condition for the density.

Classification : 35Q30, 35B30, 76D03, 76D05
Mots clés : Existence, uniqueness, nonhomogeneous model of magnetohydrodynamics

[1] Abidi, H. Équation de Navier-Stokes avec densité et viscosité variables dans l’espace critique, A paraître au Rev. Mat. Iberoamericana

[2] Bony, J.-M. Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Annales scientifiques de l’école Normale supérieure, Volume 14 (1981), pp. 209-246 | Numdam | MR | Zbl

[3] Chemin, J.-Y. Fluides parfaits incompressibles, Astérisque, 230, 1995 | Numdam | MR | Zbl

[4] Chemin, J.-Y. Théorèmes d’unicité pour le système de Navier-Stokes tridimensionnel, Journal d’analyse mathématique, Volume 77 (1999), pp. 25-50 | MR | Zbl

[5] Chemin, J.-Y.; Lerner, N. Flot de champs de vecteurs non-lipschitziens et équations de Navier-Stokes, J. Differential equations, Volume 121 (1995), pp. 247-286 | DOI | MR | Zbl

[6] Danchin, R. The inviscid limit for density-dependent incompressible fluids, A paraître aux Annales de la Faculté de Sciences de Toulouse | Numdam

[7] Danchin, R. Global existence in critical spaces for compressible Navier-Stokes equations, Invent. Math, Volume 141 (2000), pp. 579-614 | DOI | MR | Zbl

[8] Danchin, R. Local theory in critical spaces for compressible viscous and heat-conductive gases, Commun. Partial differential equations, Volume 26-27 (2001-2002), p. 1183-1233, 2531-2532 | DOI | MR | Zbl

[9] Danchin, R. Density-dependent incompressible viscous fluids in critical spaces, Proceedings of the royal society of Edinburgh, Volume 133A (2003), pp. 1311-1334 | DOI | MR | Zbl

[10] Desjardins, B.; Bris, C. Le Remarks on a nonhomogeneous model of magnetohydrodynamics, Differential and integral equations, Volume 11 (3) (1998), pp. 377-394 | MR | Zbl

[11] Duvaut, G.; Lions, J.-L. Inéquations en thermoélasticité et magnétohydrodynamique, Arch. Rat. Mech. Anal, Volume 46 (4) (1972), pp. 241-279 | MR | Zbl

[12] Fujita, H.; Kato, T. On the Navier-Stokes initial value problem I, Archive for rational mechanics and analysis, Volume 16 (1964), pp. 241-279 | DOI | MR | Zbl

[13] Gerbeau, J.-F.; Bris, C. Le Existence of solution for a density-dependant magnetohydrodynamic equation, Adv. Differential equations, Volume 2(3) (1997), pp. 427-452 | MR | Zbl

[14] Peetre, J. New thoughts on Besov spaces, Duke University Mathematical Series 1, Durham N. C, 1976 | MR | Zbl

[15] Runst, T.; Sickel, W. Sobolev spaces of fractional order, nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations, De Gruyter series in nonlinear analysis and applications, 3. Walter de Wruyter and Co. Berlin, 1996 | MR | Zbl

[16] Sermange, M.; Temam, R. Some mathematical questions related to the MHD equations, Comm. Pure appl. Math, Volume XXXVI (1983), pp. 635-664 | DOI | MR | Zbl