Résultats d’existence dans des espaces critiques pour le système de la MHD inhomogène

Abidi, Hammadi; Hmidi, Taoufik

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 14 (2007) no. 1, pp. 103-148.

Nous démontrons dans cet article que le système MHD tridimensionnel à densité et viscosité variables est localement bien posé lorsque $({{\rho }_0}^{-1}-1,u_0,B_0)\in {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right),$ pour $p\in ]1,3]$ et la densité initiale est proche d’une constante strictement positive. Nous démontrons également un résultat d’existence et d’unicité dans l’espace de Sobolev $H^{\frac{3}{2}+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)$ pour $\alpha >0,$ sans aucune condition de petitesse sur la densité.

In this article, we show that the 3D MHD system with variable density and viscosity is locally well-posed in the Besov space ${\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right)$ for $1<p\le 3$ and that the initial density approaches a positive constant. Moreover, we prove existence and uniqueness in the Sobolev space $H^{\frac{3}{2}+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)$ for $\alpha >0,$ without smallness condition for the density.

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