En admettant la conjecture de Dickson, nous démontrons que, pour chaque couple d’entiers et , il existe une partie infinie telle que, pour chacun des entiers et tout entier tel que , on ait où sont des nombres premiers. De même, pour chaque couple d’entiers et , il existe une partie infinie telle que, pour chacun des entiers et tout entier (nul ou non ) de l’intervalle , on ait où sont des nombres premiers et l’entier appartient à l’intervalle . La lecture non standard de ce résultat nous suggère la question suivante : est-ce-que chaque entier illimité est, à un entier limité près, produit de deux entiers illimités ? Suite à ceci nous présentons des familles d’entiers, dans chacune desquelles tout nombre illimité est produit de deux entiers illimités.
As a consequence of Dickson’s Conjecture, we prove, for each couple of integers and , the existence of an infinite set such that, for each and every integer , , we have where are prime numbers. Similarly, we prove the existence of an infinite set such that , for each and every integer (including ), we have where are prime numbers and is an integer. The nonstandard interpretation of this result suggests the following question: Is every unlimited integer equal to the sum of a limited integer and a product of two unlimited integers ? We present families of integers in which each unlimited member is a product of two unlimited integers.
Mots-clés : Conjecture de Dickson, analyse non standard, nombres premiers, suites d’entiers naturels.
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Boudaoud, Abdelmadjid. La conjecture de Dickson et classes particulières d’entiers. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 13 (2006) no. 1, pp. 103-109. doi : 10.5802/ambp.215. http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.215/
[1] A new extension of Dirichlet’s theorem on prime numbers, Messenger, Volume 2 no. 38, pp. 155-161
[2] Analyse non standard, Hermann, 1989 | MR | Zbl
[3] Internal set theory : A new approach to non standard analysis, bull. Amer. Math. Soc., Volume 83 (1977), pp. 1165-1198 | DOI | MR | Zbl
[4] The Little Book of Big Primes, Springer-Verlag, 1991 | MR | Zbl
[5] Nombres premiers : mystères et records, PUF, 1994 (page 214) | MR | Zbl
[6] Sur certaines hypothèses concernant les nombres premiers, Acta Arith. 4 (1958), 185–208 ; erratum, Volume 5 (1958), pp. 259 | MR | Zbl
Cité par Sources :