Méthode de Mahler en caractéristique non nulle : un analogue du théorème de Ku. Nishioka

Fernandes, Gwladys

Annales de l'Institut Fourier, Tome 68 (2018) no. 6, pp. 2553-2580.

En 1990, Ku. Nishioka démontre un théorème fondamental pour la méthode de Mahler, qui constitue l’analogue du théorème de Siegel–Shidlovskii pour les fonctions mahlériennes. Le but de cet article est d’établir une version du théorème de Ku. Nishioka qui soit également valable pour des systèmes mahlériens définis sur des corps de fonctions en caractéristique non nulle. Nous reprenons l’approche introduite dans un cas particulier par Denis en 1999. Celle-ci s’appuie sur un critère d’indépendance algébrique général dû à Philippon. La motivation principale de notre travail repose sur le fait remarquable, découvert par Denis, que dans le contexte des corps de fonctions en caractéristique non nulle, des analogues de périodes comme $\pi$ ou les valeurs aux entiers de la fonction $\zeta$ de Riemann s’obtiennent comme valeurs de fonctions mahlériennes en des points algébriques.

In 1990, Ku. Nishioka proved a fundamental theorem for Mahler’s method, which is the analog of the Siegel–Shidlovskii theorem for Mahler functions. In this article, we establish a version of Ku. Nishioka’s theorem which is also valid for Mahler systems over function fields of positive characteristic. We follow the approach introduced by Denis in 1999 in a particular case. It is based on an algebraic independence criterion from Philippon. The main motivation of this work is built on the following remarkable fact discovered by Denis. Over function fields of positive characteristic, analogs of periods such as $\pi$ or the values at integer points of the Zeta Riemann function can be obtained as values of Mahler functions at algebraic points.

Classification : 11J85
Mot clés : Méthode de mahler, caractéristique non nulle, théorème de Ku. Nishioka, indépendance algébrique, transcendance
Keywords: Mahler’s method, positive characteristic, Ku. Nishioka’s theorem, algebraic independence, transcendence

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