On Moebius and conformal maps between boundaries of $\mathrm{CAT}(-1)$ spaces

Biswas, Kingshook

Annales de l'Institut Fourier, Tome 65 (2015) no. 3, pp. 1387-1422.

Nous étudions les applications conformes de Moebius entre les bords des espaces $\mathrm{CAT}(-1)$ équipés avec leurs métriques visuelles. Nous démontrons qu’une application de Moebius entre les bords des espaces $\mathrm{CAT}(-1)$ propres et géodésiquement complets s’étend à une (1, log 2)-quasi-isométrie. Nous définissons pour une application conforme $f$ entre les bords des espaces $X$, $Y$ une fonction $S\left(f\right)$, appelée le Schwarzian integrée de $f$, qui quantifie la déviation de conjugaison des flots géodésiques induits par $f$ d’être équivariant par rapport aux flips. Le Schwarzian integré s’annule si $f$ est de Moebius. Réciproquement, si $X$ est une variété riemannienne simplement connexe à courbure $-b^2\le K\le -1$, nous obtenons une formule pour la distortion du birapport par $f$, qui montre que $f$ est de Moebius si $S\left(f\right)$ s’annule.

We study Moebius and conformal maps between boundaries of $\mathrm{CAT}(-1)$ spaces equipped with visual metrics. We show that any Moebius map between boundaries of proper, geodesically complete $\mathrm{CAT}(-1)$ spaces extends to a (1, log 2)-quasi-isometry between the spaces. For a conformal map $f$ between boundaries of spaces $X$, $Y$ we define a function $S\left(f\right)$ on the space of geodesics of $X$, called the integrated Schwarzian of $f$, which measures the deviation of the conjugacy of geodesic flows induced by $f$ from being flip equivariant. The integrated Schwarzian $S\left(f\right)$ vanishes identically if f is Moebius. Conversely, when $X$ is a simply connected manifold with pinched negative sectional curvatures, we obtain a formula for the cross-ratio distortion of $f$ in terms of $S\left(f\right)$ which shows that if $S\left(f\right)$ vanishes then $f$ is Moebius.

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