no. 6
Spherical roots of spherical varieties
[Racines sphériques de variétés sphériques]
Knop, Friedrich1
1 Department Mathematik, Emmy-Noether-Zentrum, FAU Erlangen-Nürnberg, Cauerstraße 11, 91058 Erlangen, Germany
Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014) no. 6, pp. 2503-2526.

Brion a prouvé que le cône de valuations d’une variété sphérique complexe est un domaine fondamental pour un groupe de réflexion finie, appelée petit groupe de Weyl. L’objectif principal de cet article est de généraliser ce théorème à des corps de caractéristique différent de 2. Nous prouvons aussi une version plus faible qui tient en caractéristique 2. Notre outil principal est une généralisation du classement d’Akhiezer des variétés sphériques de rang 1.

Brion proved that the valuation cone of a complex spherical variety is a fundamental domain for a finite reflection group, called the little Weyl group. The principal goal of this paper is to generalize this theorem to fields of characteristic unequal to 2. We also prove a weaker version which holds in characteristic 2, as well. Our main tool is a generalization of Akhiezer’s classification of spherical varieties of rank 1.

DOI : 10.5802/aif.2919
Classification : 14M27, 14L30, 14G17
Keywords: Spherical varieties, spherical roots, homogeneous varieties, fields of positive characteristic
Mot clés : Variétés sphériques, racines sphériques, variétés homogènes, corps de caractéristique positive
Knop, Friedrich 1

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Knop, Friedrich. Spherical roots of spherical varieties. Annales de l'Institut Fourier, Tome 64 (2014) no. 6, pp. 2503-2526. doi : 10.5802/aif.2919. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2919/

[1] Akhiezer, D. N. Equivariant completion of homogeneous algebraic varieties by homogeneous divisors, Ann. Global Anal. Geom., Volume 1 (1983), pp. 49-78 | DOI | MR | Zbl

[2] Borel, A.; Tits, J. Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I, Invent. Math., Volume 12 (1971), pp. 95-104 | DOI | MR | Zbl

[3] Borel, Armand Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126, Springer-Verlag, New York, 1991, pp. xii+288 | MR | Zbl

[4] Bourbaki, N. Éléments de athématique. Fasc. XXXIV. Groupes et algèbres de Lie. Chapitre IV: Groupes de Coxeter et systèmes de Tits. Chapitre V: Groupes engendrés par des réflexions. Chapitre VI: systèmes de racines, Actualités Scientifiques et Industrielles, Hermann, Paris, 1968 no. 1337, pp. 288 | MR | Zbl

[5] Bravi, P.; Luna, D. An introduction to wonderful varieties with many examples of type F 4 , J. Algebra, Volume 329 (2011), pp. 4-51 (arxiv:0812.2340) | DOI | MR | Zbl

[6] Brion, M. On spherical varieties of rank one (after D. Ahiezer, A. Huckleberry, D. Snow), Group actions and invariant theory, (Montreal, PQ, 1988) (CMS Conf. Proc.), Volume 10, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989, pp. 31-41 | MR | Zbl

[7] Brion, M. Vers une généralisation des espaces symétriques, J. Algebra, Volume 134 (1990), pp. 115-143 | DOI | MR | Zbl

[8] Dynkin, E. B. Semisimple subalgebras of semisimple Lie algebras, Mat. Sbornik N.S, Volume 30(72) (1952), pp. 349-462 | MR | Zbl

[9] Franjou, V.; van der Kallen, W. Power reductivity over an arbitrary base, Doc. Math. (2010), pp. 171-195 (Extra volume: Andrei A. Suslin sixtieth birthday) | MR | Zbl

[10] Knop, F. Mehrfach transitive Operationen algebraischer Gruppen, Arch. Math. (Basel), Volume 41 (1983), pp. 438-446 | DOI | MR | Zbl

[11] Knop, F. The Luna-Vust theory of spherical embeddings, Manoj Prakashan, Madras, Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (Hyderabad, 1989) (1991), pp. 225-249 | MR | Zbl

[12] Knop, F. Über Bewertungen, welche unter einer reduktiven Gruppe invariant sind, Math. Ann., Volume 295 (1993), pp. 333-363 | DOI | MR | Zbl

[13] Knop, F. Localization of spherical varieties, 2013 (25 pages, arxiv:1303.2561) | MR

[14] Knop, F.; Röhrle, G. Spherical subgroups in simple algebraic groups, 2013 (21 pages, arxiv:1305.3183)

[15] Krämer, M. Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compos. Math., Volume 38 (1979), pp. 129-153 | Numdam | MR | Zbl

[16] Luna, D. Variétés sphériques de type A, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., Volume 94 (2001), pp. 161-226 | DOI | Numdam | Zbl

[17] Luna, Th. D.and Vust Plongements d’espaces homogènes, Comment. Math. Helv., Volume 58 (1983), pp. 186-245 | DOI | MR | Zbl

[18] Schalke, B. Sphärische Einbettungen in positiver Charakteristik, Diplomarbeit (Universität Erlangen) (2011), pp. 39 pages

[19] Wasserman, B. Wonderful varieties of rank two, Transform. Groups, Volume 1 (1996), pp. 375-403 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :