Applications depuis $K(\mathbb{Z}/p,2)$ et une conjecture de N. Kuhn

Gaudens, Gérald; Schwartz, Lionel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 2, pp. 763-772.

Dans cet article on démontre une conjecture de N. Kuhn : si la cohomologie singulière modulo un nombre premier $p$ d’un espace est finiment engendrée comme module sur l’algèbre de Steenrod, alors elle est finie. On donne aussi des formes plus fortes de ce résultat. Le second auteur en avait déjà donné une démonstration dans un article précédent. Cependant dans le cas d’un nombre premier impair la preuve comportait une lacune sans hypothèse supplémentaire sur la cohomologie de l’espace, du type de la nullité de l’homomorphisme de Bockstein. De même la démonstration reposait, d’abord sur une idée de N. Kuhn, puis sur une utilisation de la suite spectrale d’Eilenberg-Moore. La nouvelle démonstration repose elle sur une extension de la stratégie de N. Kuhn qui est fondée sur un théorème de J. Lannes et uniquement le théorème de Bott-Samelson. Elle fonctionne de manière identique pour tout nombre premier $p$.

In this paper we prove a conjecture of N. Kuhn: if the singular cohomology modulo a prime number $p$ of a space is finitely generated as a module over the Steenrod algebra, then it is finite. The second author had already given proof of this result in a previous article. However in the case of an odd prime the proof contained a gap without additional assumption on the cohomology of the space, like the triviality of the Bockstein homomorphism. The first proof depends, first on an idea by N. Kuhn, then on the Eilenberg-Moore spectral sequence. The new proof is based on an extension of the strategy of N. Kuhn is based on a theorem of J. Lannes and only on the Bott-Samelson theorem. It works the same way for all primes $p$.

[1] Castellana, Natàlia; Crespo, Juan A.; Scherer, Jérome Deconstructing Hopf spaces, Invent. Math., Volume 167 (2007) no. 1, pp. 1-18 | DOI | MR | Zbl

[2] Dehon, François Xavier; Gaudens, Gérald Espaces profinis et problèmes de réalisabilité, AGT, Volume 3 (2003), pp. 399-433 | MR | Zbl

[3] Kuhn, Nicholas On topologically realizing modules over the Steenrod algebra, Ann. of Math., Volume 141 (1995), pp. 321-347 | DOI | MR | Zbl

[4] Kuhn, Nicholas Topological non-realization results via the Goodwillie tower approach to iterated loopspace homology, AGT, Volume 8 (2008), pp. 2109-2129 | MR | Zbl

[5] Lannes, Jean Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un $p$-groupe abélien élémentaire., Pub. I.H.E.S., Volume 75 (1992), pp. 135-244 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[6] Lannes, Jean; Schwartz, Lionel Sur la structure de $𝒜$-modules instables injectifs, Topology, Volume 28 (1989), pp. 153-169 | DOI | MR | Zbl

[7] Miller, Haynes The Sullivan conjecture on maps from classifying spaces, Ann. of Math. (2), Volume 120 (1984) no. 1, pp. 39-87 | DOI | MR | Zbl

[8] Morel, Fabien Ensembles profinis simpliciaux et interprétation géométrique du foncteur $T$, Bull. Soc. Math. France, Volume 124 (1996) no. 2, pp. 347-373 | Numdam | MR | Zbl

[9] Schwartz, Lionel Unstable modules over the Steenrod algebra and Sullivan’s fixed point set conjecture, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1994 | MR | Zbl

[10] Schwartz, Lionel A propos de la conjecture de non-réalisation due à N. Kuhn, Invent. Math., Volume 134 (1998), pp. 211-227 | DOI | MR | Zbl

[11] Schwartz, Lionel La filtration de Krull de la catégorie $𝒰$ et la cohomologie des espaces, AGT, Volume 1 (2001), pp. 519-548 | MR | Zbl

[12] Schwartz, Lionel Erratum à A propos de la conjecture de non-réalisation due à N. Kuhn, Invent. Math., Volume 182 (2010), pp. 449-450 | DOI | MR | Zbl

[13] Whitehead, George Elements of homotopy theory, GTM, 6, Springer Verlag, 1978 | MR | Zbl