A Garside presentation for Artin-Tits groups of type ${\tilde{C}}_n$

Digne, F.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012) no. 2, pp. 641-666.

Nous prouvons qu’un groupe d’Artin-Tits de type $\tilde{C}$ est le groupe des fractions d’un monoïde de Garside analogue des monoïdes duaux connus pour les groupes d’Artin-Tits de type sphérique et construit par la méthode dite du “groupe engendré”. Ceci répond dans ce cas particulier à une question générale sur les groupes d’Artin-Tits, donne une nouvelle présentation d’un groupe d’Artin-Tits de type $\tilde{C}$ et a plusieurs conséquences (problème du mot, calcul de centralisateurs, trivialité du centre). Un point clé de la preuve consiste à montrer que ce groupe est un groupe de points fixes sous une involution dans un groupe d’Artin-Tits de type $\tilde{A}$. Un autre outil important est l’action de Hurwitz sur les décompositions d’un élément de Coxeter en produit de réflexions.

We prove that an Artin-Tits group of type $\tilde{C}$ is the group of fractions of a Garside monoid, analogous to the known dual monoids associated with Artin-Tits groups of spherical type and obtained by the “generated group” method. This answers, in this particular case, a general question on Artin-Tits groups, gives a new presentation of an Artin-Tits group of type $\tilde{C}$, and has consequences for the word problem, the computation of some centralizers or the triviality of the center. A key point of the proof is to show that this group is a group of fixed points in an Artin-Tits group of type $\tilde{A}$ under an involution. Another important point is the study of the Hurwitz action of the usual braid group on the decomposition of a Coxeter element into a product of reflections.

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