Coxeter elements for vanishing cycles of types ${\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }$ and ${\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }$

Saito, Kyoji

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 7, pp. 2959-2984.

Nous introduisons deux fonctions entières de deux variables $f_{{\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }}$ et $f_{{\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }}$. Leurs seules valeurs critiques sont $0$ et $1$, et les applications associées ${\mathbf{C}}^2\to \mathbf{C}$ définissent des fibrations localement topologiquement triviales au-dessus de $\mathbf{C}\setminus \{0,1\}$. Tous les points critiques dans les fibres singulières au-dessus de $0$ et $1$ sont des points doubles ordinaires, les cycles évanescents associés engendrent le groupe d’homologie en dimension moitié de la fibre générique, et leur diagramme d’intersection est un carquois infini bipartite de type ${\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }$ et ${\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }$, respectivement. Les transformations de Coxeter de type ${\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }$ et ${\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }$, agissant sur le groupe d’homologie en dimension moitié, sont définies par le produit des monodromies en $0$ et $1$. On décrit les spectres de ces transformations de Coxeter en plongeant le groupe d’homologie en dimension moitié dans un espace de Hilbert. Ces spectres sont fortement continus sur l’intervalle $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, sauf en $0$ en type ${\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }$.

We introduce two entire functions $f_{{\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }}$ and $f_{{\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }}$ in two variables. Both of them have only two critical values $0$ and $1$, and the associated maps ${\mathbf{C}}^2\to \mathbf{C}$ define topologically locally trivial fibrations over $\mathbf{C}\setminus \{0,1\}$. All critical points in the singular fibers over $0$ and $1$ are ordinary double points, and the associated vanishing cycles span the middle homology group of the general fiber, whose intersection diagram forms bi-partitely decomposed infinite quivers of type ${\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }$ and ${\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }$, respectively. Coxeter elements of type ${\mathrm{A}}_{\frac{1}{2}\infty }$ and ${\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }$, acting on the middle homology group, are introduced as the product of the monodromies around $0$ and $1$. We describe the spectra of the Coxeter elements by embedding the middle homology group into a Hilbert space. The spectra turn out to be strongly continuous on the interval $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ except at $0$ for type ${\mathrm{D}}_{\frac{1}{2}\infty }$.

[1] Boas, R. P. Entire Functions, Academic Press Inc., New York, 1954 | MR | Zbl

[2] Bourbaki, N. Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 4,5, et 6, Eléments de Mathématique XXXIV, Hermann, Paris, 1968 | MR | Zbl

[3] Riesz, F.; Nagy, B. Leçons d’analyse fonctionnelle, Académie des sciences de Hongrie, Akademiei Nyomda, 1955 | Zbl

[4] Saito, K. Polyhedra Dual to Weyl Chamber Decomposition (Preprint, Augst 2004 no.2, p645-668)

[5] Saito, K. Einfach elliptische Singularitäten, Inventiones Math., Volume 23 (1974), pp. 289-325 | MR | Zbl

[6] Saito, K. Period mapping associated to primitive forms, Publ. RIMS, Volume 19 (1983) no. 3, pp. 1231-1264 | MR | Zbl

[7] Saito, K. Polyhedra dual to the Weyl Chamber decomposition: A Précis., Publ. RIMS, Volume 40 (2004) no. 4, pp. 1337-1384 | MR | Zbl