De Concini et Procesi ont défini la compactification magnifique minimale d’un espace symétrique où est un groupe complexe semi-simple adjoint et le sous-groupe des points fixes par une involution . C’est une sous-variété fermée d’une Grassmannienne des sous-espaces vectoriels de l’algèbre de Lie de . Dans cet article, nous démontrons que, lorsque le rang de est égal au rang de , la variété est définie par des équations linéaires. Ces équations traduisent l’annulation de l’espace propre de de valeur propre par la forme trilinéaire alternée invariante sur l’algèbre de Lie de . L’article finit par des exemples lorsque le rang de est deux.
De Concini and Procesi have defined the wonderful compactification of a symmetric space where is a complex semisimple adjoint group and the subgroup of fixed points of by an involution . It is a closed subvariety of a Grassmannian of the Lie algebra of . In this paper we prove that, when the rank of is equal to the rank of , the variety is defined by linear equations. The set of equations expresses the fact that the invariant alternate trilinear form on vanishes on the -eigenspace of .
Keywords: Wonderful compactification, symmetric space, Lie algebra, adjoint group, scheme
Mot clés : compactification magnifique, espace symétrique, algèbre de Lie, groupe adjoint, schéma
@article{AIF_2011__61_5_2121_0, author = {Hivert, Pascal}, title = {Equations of some wonderful compactifications}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {2121--2138}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {61}, number = {5}, year = {2011}, doi = {10.5802/aif.2668}, mrnumber = {2961850}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2668/} }
TY - JOUR AU - Hivert, Pascal TI - Equations of some wonderful compactifications JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2011 SP - 2121 EP - 2138 VL - 61 IS - 5 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2668/ DO - 10.5802/aif.2668 LA - en ID - AIF_2011__61_5_2121_0 ER -
%0 Journal Article %A Hivert, Pascal %T Equations of some wonderful compactifications %J Annales de l'Institut Fourier %D 2011 %P 2121-2138 %V 61 %N 5 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2668/ %R 10.5802/aif.2668 %G en %F AIF_2011__61_5_2121_0
Hivert, Pascal. Equations of some wonderful compactifications. Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2121-2138. doi : 10.5802/aif.2668. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2668/
[1] Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 7–8, Eléments de Mathématiques, Masson, Paris, 1990 | Zbl
[2] Complete symmetric varieties, Invariant theory (Montecatini, 1982) (Lecture Notes in Math.), Volume 996, Springer, Berlin, 1983, pp. 1-44 | Zbl
[3] Nilpotent subspaces of maximal dimension in semi-simple Lie algebras, Compos. Math., Volume 142 (2006) no. 2, pp. 464-476 | DOI | MR | Zbl
[4] Representation theory, Graduate Texts in Mathematics, 129, Springer-Verlag, New York, 1991 (A first course, Readings in Mathematics) | MR | Zbl
[5] A new construction of the Joseph ideal, M.I.T. Cambridge (1982) (Ph. D. Thesis)
[6] Complete collineations revisited, Math. Ann., Volume 315 (1999) no. 3, pp. 469-495 | DOI | MR | Zbl
[7] LiE, A Package for Lie Group Computations (1992) (http://www-math.univ-poitiers.fr/~maavl/LiE/)
[8] Structure of Lie groups and Lie algebras, Current problems in mathematics. Fundamental directions, Vol. 41 (Russian) (Itogi Nauki i Tekhniki), Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, 1990, pp. 5-259 | MR | Zbl
[9] Cohomology of vector bundles and syzygies, Cambridge Tracts in Mathematics, 149, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 | MR | Zbl
Cité par Sources :