Equations of some wonderful compactifications

Hivert, Pascal

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2121-2138.

De Concini et Procesi ont défini la compactification magnifique minimale d’un espace symétrique $X=G/H$ où $G$ est un groupe complexe semi-simple adjoint et $H$ le sous-groupe des points fixes par une involution $\sigma$. C’est une sous-variété fermée d’une Grassmannienne des sous-espaces vectoriels de l’algèbre de Lie de $G$. Dans cet article, nous démontrons que, lorsque le rang de $X$ est égal au rang de $G$, la variété est définie par des équations linéaires. Ces équations traduisent l’annulation de l’espace propre de $\sigma$ de valeur propre $-1$ par la forme trilinéaire alternée invariante sur l’algèbre de Lie de $G$. L’article finit par des exemples lorsque le rang de $G$ est deux.

De Concini and Procesi have defined the wonderful compactification $\overline{X}$ of a symmetric space $X=G/G^{\sigma }$ where $G$ is a complex semisimple adjoint group and $G^{\sigma }$ the subgroup of fixed points of $G$ by an involution $\sigma$. It is a closed subvariety of a Grassmannian of the Lie algebra $𝔤$ of $G$. In this paper we prove that, when the rank of $X$ is equal to the rank of $G$, the variety is defined by linear equations. The set of equations expresses the fact that the invariant alternate trilinear form $w$ on $𝔤$ vanishes on the $(-1)$-eigenspace of $\sigma$.

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