Almost étale extensions of Fontaine rings and log-crystalline cohomology in the semi-stable reduction case

Lodh, Rémi Shankar

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 1875-1942.

Soit $K$ un corps de caractéristique nulle, complet pour une valuation discrète, à corps résiduel parfait de caractéristique $p>0$, et soit $K^{+}$ son anneau d’entiers. Nous montrons que la cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de certains $K^{+}$-schémas affines $X=Spec\left(R\right)$ à réduction bonne ou semi-stable se calcule comme la cohomologie galoisienne du groupe fondamental ${\pi }_1\left(X_{\overline{K}}\right)$ de la fibre générique géométrique de $X$ à valeurs dans un anneau de Fontaine construit à partir de $R$. Ce calcul est basé sur la théorie des revêtements presque étales de Faltings.

Let $K$ be a field of characteristic zero complete for a discrete valuation, with perfect residue field of characteristic $p>0$, and let $K^{+}$ be the valuation ring of $K$. We relate the log-crystalline cohomology of the special fibre of certain affine $K^{+}$-schemes $X=Spec\left(R\right)$ with good or semi-stable reduction to the Galois cohomology of the fundamental group ${\pi }_1\left(X_{\overline{K}}\right)$ of the geometric generic fibre with coefficients in a Fontaine ring constructed from $R$. This is based on Faltings’ theory of almost étale extensions.

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