Different methods for the study of obstructions in the schemes of Jacobi

Carles, Roger; Márquez, M. Carmen

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 2, pp. 453-490.

Le problème des obstructions aux déformations d’algèbres de Lie est étudié de quatre points de vue différents. On illustrera d’abord la méthode de l’anneau local, une alternative à la méthode de Gerstenhaber. On compare les deux méthodes en montrant qu’une classe d’obstruction correspond à un paramètre local nilpotent d’une déformation verselle de la loi dans le schéma de Jacobi. Un procédé d’élimination dans l’anneau global permet ensuite d’obtenir des éléments nilpotents, constituant ainsi une méthode globale. Enfin, le problème des obstructions est traité dans la géométrie définie par générateurs et relations. Des sous-schémas de grassmanniennes constitués d’idéaux $T$-invariants d’une algèbre de Lie libre ($T$ étant un tore bien choisi), après quotient par une action de groupe, sont égaux à ceux définis par les polynômes de Jacobi après passage à un quotient similaire.

In this paper the problem of obstructions in Lie algebra deformations is studied from four different points of view. First, we illustrate the method of local ring, an alternative to Gerstenhaber’s method for Lie deformations. We draw parallels between both methods showing that an obstruction class corresponds to a nilpotent local parameter of a versal deformation of the law in the scheme of Jacobi. Then, an elimination process in the global ring, which defines the scheme, allows us to obtain nilpotent elements and to describe the global method. Finally, the obstruction problem is studied in the geometry defined by generators and relations. Under certain conditions, we prove that subschemes of grassmannians of $T$-invariant ideals of a free Lie algebra ($T$ being a torus of derivations), after quotient by an action group, are the same as those defined from Jacobi polynomials after a similar quotient.

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