Spherical gradient manifolds

Miebach, Christian; Stötzel, Henrik

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 6, pp. 2235-2260.

Nous étudions l’action d’un groupe réel-réductif $G=Kexp\left(𝔭\right)$ sur une sous-variété réel-analytique $X$ d’une variété kählérienne. Nous supposons que l’action de $G$ peut être prolongée en une action holomorphe du groupe complexifié $G^{ℂ}$ sur cette variété kählérienne telle que l’action d’un sous-groupe maximal compact de $G^{ℂ}$ soit hamiltonienne. L’application moment induit une application gradient ${\mu }_{𝔭}:X\to 𝔭$. Nous montrons que ${\mu }_{𝔭}$ sépare presque les orbites de $K$ si et seulement si un sous-groupe minimal parabolique de $G$ possède une orbite ouverte dans $X$. Ce résultat généralise la caractérisation de Brion des variétés kählériennes sphériques qui admettent une application moment.

We study the action of a real-reductive group $G=Kexp\left(𝔭\right)$ on a real-analytic submanifold $X$ of a Kähler manifold. We suppose that the action of $G$ extends holomorphically to an action of the complexified group $G^{ℂ}$ on this Kähler manifold such that the action of a maximal compact subgroup is Hamiltonian. The moment map induces a gradient map ${\mu }_{𝔭}:X\to 𝔭$. We show that ${\mu }_{𝔭}$ almost separates the $K$–orbits if and only if a minimal parabolic subgroup of $G$ has an open orbit. This generalizes Brion’s characterization of spherical Kähler manifolds with moment maps.

Classification : 32M05, 22E46, 53D20
Keywords: Real-reductive Lie group, Hamiltonian action, gradient map, spherical variety
Mot clés : groupe de Lie réel-réductif, action hamiltonienne, application gradient, variété sphérique

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