Spherical gradient manifolds

Miebach, Christian; Stötzel, Henrik

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 6, pp. 2235-2260.

Nous étudions l’action d’un groupe réel-réductif $G=Kexp\left(𝔭\right)$ sur une sous-variété réel-analytique $X$ d’une variété kählérienne. Nous supposons que l’action de $G$ peut être prolongée en une action holomorphe du groupe complexifié $G^{ℂ}$ sur cette variété kählérienne telle que l’action d’un sous-groupe maximal compact de $G^{ℂ}$ soit hamiltonienne. L’application moment induit une application gradient ${\mu }_{𝔭}:X\to 𝔭$. Nous montrons que ${\mu }_{𝔭}$ sépare presque les orbites de $K$ si et seulement si un sous-groupe minimal parabolique de $G$ possède une orbite ouverte dans $X$. Ce résultat généralise la caractérisation de Brion des variétés kählériennes sphériques qui admettent une application moment.

We study the action of a real-reductive group $G=Kexp\left(𝔭\right)$ on a real-analytic submanifold $X$ of a Kähler manifold. We suppose that the action of $G$ extends holomorphically to an action of the complexified group $G^{ℂ}$ on this Kähler manifold such that the action of a maximal compact subgroup is Hamiltonian. The moment map induces a gradient map ${\mu }_{𝔭}:X\to 𝔭$. We show that ${\mu }_{𝔭}$ almost separates the $K$–orbits if and only if a minimal parabolic subgroup of $G$ has an open orbit. This generalizes Brion’s characterization of spherical Kähler manifolds with moment maps.

[1] Akhiezer, D.; Heinzner, P. Spherical Stein spaces, Manuscripta Math., Volume 485 (1997) no. 3, p. 327-334. | MR | Zbl

[2] Akhiezer, D.; Vinberg, E. B. Weakly symmetric spaces and spherical varieties, Transform. Groups, Volume 4 (1999) no. 1, p. 3-24. | DOI | MR | Zbl

[3] Bredon, G. E. Introduction to compact transformation groups, Pure and Applied Mathematics, 46, Academic Press, New-York – London, 1972 | MR | Zbl

[4] Brion, M. Sur l’image de l’application moment, Séminaire d’algèbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin (Paris, 1986) (Lecture Notes in Math.), Volume 1296, Springer, Berlin (1987), pp. 177-192 | MR | Zbl

[5] Guillemin, V.; Sternberg, S. Symplectic techniques in physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1984 | MR | Zbl

[6] Heinzner, P. Equivariant holomorphic extensions of real analytic manifolds, Bull. Soc. Math. France, Volume 121 (1993) no. 3, p. 445-463. | Numdam | MR | Zbl

[7] Heinzner, P.; Huckleberry, A. T. Kählerian potentials and convexity properties of the moment map, Invent. Math., Volume 126 (1996) no. 1, p. 65-84. | DOI | MR | Zbl

[8] Heinzner, P.; Schützdeller, P. Convexity properties of gradient maps (arXiv:0710.1152v1 [math.CV], 2007)

[9] Heinzner, P.; Schwarz, G. W. Cartan decomposition of the moment map, Math. Ann., Volume 337 (2007) no. 1, p. 197-232. | DOI | MR | Zbl

[10] Heinzner, P.; Stötzel, H. Semistable points with respect to real forms, Math. Ann., Volume 338 (2007) no. 1, p. 1-9. | DOI | MR | Zbl

[11] Hochschild, G. The structure of Lie groups, Holden-Day Inc, San Francisco, 1965 | MR | Zbl

[12] Huckleberry, A. T.; Oeljeklaus, E. On holomorphically separable complex solv-manifolds, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 36 (1986) no. 3, p. 57-65. | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[13] Huckleberry, A. T.; Wurzbacher, T. Multiplicity-free complex manifolds, Math. Ann., Volume 286 (1990) no. 1-3, p. 261-280. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[14] Knapp, A. W. Lie groups beyond an introduction, Progress in Mathematics, 140, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 2002 | MR | Zbl

[15] Kostant, B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 6 (1973), p. 413-455. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[16] Matsushima, Y.; Morimoto, A. Sur certains espaces fibrés holomorphes sur une variété de Stein, Bull. Soc. Math. France, Volume 88 (1960), p. 137-155. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[17] Stötzel, H. Quotients of real reductive group actions related to orbit type strata, Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, 2008 | Zbl

[18] Wolf, J. A.. Harmonic analysis on commutative spaces, Mathematical Surveys and Monographs, 142, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007 | MR | Zbl