Sur le Topos infinitésimal $p$-adique d’un schéma lisse I

Arabia, Alberto; Mebkhout, Zoghman

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 6, pp. 1905-2094.

Afin de disposer des opérations cohomologiques aussi souples que possible pour la cohomologie de de Rham $p$-adique, le but principal de ce mémoire est de résoudre intrinsèquement du point de vue cohomologique le problème des relèvements des schémas lisses et de leurs morphismes de la caractéristique $p>0$ à la caractéristique nulle ce qui a été l’une des difficultés centrales de la théorie de la cohomologie de de Rham des schémas algébriques en caractéristique positive depuis le début. Nous montrons que, bien que les schémas lisses et leurs morphismes ne se relèvent pas en général du point de vue géométrique, tout se passe comme si c’était bien le cas du point de vue cohomologique, ce qui est conforme à la Théorie des Motifs de Grothendieck. On en déduit la factorisation $p$-adique de la fonction Zêta d’une variété algébrique lisse sur un corps fini, éventuellement ouverte, qui est le résultat test de nos méthodes.

Soit $V$ un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques $(p,0)$ de corps résiduel $k$ et de corps de fractions $K$. On définit la cohomologie de de Rham $p$-adique d’un schéma lisse sur $k$, à coefficients qui sont des espaces vectoriels sur $K$ et on définit les opérations cohomologiques pour un morphisme de schémas lisses sur $k$. On montre que l’on obtient en particulier un foncteur contravariant entre la catégorie de tous les schémas lisses et séparés sur $k$ et la catégorie dérivée de la catégorie des espaces vectoriels sur $K$. On montre la suite exacte de Gysin pour tout couple de schémas lisses, ce qui permet en particulier de définir la classe de cohomologie d’un cycle dans le cas d’un corps de base parfait. On montre le lemme de Poincaré-Künneth sur une base lisse.

In order to have cohomological operations for de Rham $p$-adic cohomology as manageable as possible, the main purpose of this paper is to solve intrinsically and from a cohomological point of view the lifting problem of smooth schemes and their morphisms from characteristic $p>0$ to characteristic zero which has been one of the fundamental difficulties in the theory of de Rham cohomology of algebraic schemes in positive characteristic since the beginning. We show that although smooth schemes and morphisms fail to lift geometrically, it is as if this was the case within the cohomological point of view, which is consistent with the theory of Grothendieck Motives. We deduce the $p$-adic factorization of the Zeta function of a smooth algebraic variety, possibly open, over a finite field, which is a key testing result of our methods.

Let $V$ be a complete discrete valuation ring of unequal characteristics $(p,0)$ with residue field $k$ and fraction field $K$. We define the de Rham cohomology of a smooth scheme over $k$ with coefficients which are vector spaces over $K$, and we define cohomological operations for morphisms of smooth schemes over $k$. We show that we obtain in particular a contravariant functor between the category of all separated smooth schemes over $k$ and the derived category of the category of vector spaces over $K$. We give the Gysin exact sequence for every pair of smooth schemes, allowing in particular to define the cohomology class of a cycle in the case of a perfect base field. We prove the Poincaré-Künneth lemma for smooth base.

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