Optimisation du théorème d’Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne $p$-adique

Le Borgne, Jérémy

Annales de l'Institut Fourier, Tome 60 (2010) no. 3, pp. 1105-1123.

Soit $K$ un corps $p$-adique, $G$ son groupe de Galois absolu et $v$ la valuation sur ${\mathbf{C}}_p$. Dans sa démonstration du théorème d’Ax-Sen-Tate, Ax montre que si pour un $A\in \mathbf{R}$, $x\in {\mathbf{C}}_p$ vérifie $v(\sigma x-x)\ge A$ pour tout $\sigma \in G$, alors il existe $y\in K$ tel que $v(x-y)\ge A-c$, avec $c=p/{(p-1)}^2$. Ax se pose la question de l’optimalité de la constante $c$, que nous étudions ici. En utilisant l’extension de $K$ engendrée par les racines $p^m$-es d’une uniformisante fixée de $K$, nous déterminons la constante optimale, ainsi que des informations supplémentaires sur les $x\in {\mathbf{C}}_p$ tels que $v(\sigma x-x)\ge A$ pour tout $\sigma \in G$, ce qui nous permet de donner une description du premier groupe de cohomologie de $G$ à coefficients dans l’anneau des entiers de $K$.

Let $K$ be a $p$-adic field, $G$ its absolute Galois group and $v$ the valuation on ${\mathbf{C}}_p$. In his proof of the Ax-Sen-Tate theorem, Ax shows that if for some $A\in \mathbf{R}$, $x\in {\mathbf{C}}_p$ satisfies $v(\sigma x-x)\ge A$ for all $\sigma \in G$, then there exists $y\in K$ such that $v(x-y)\ge A-c$, with $c=p/{(p-1)}^2$. Ax questions the optimality of the constant $c$, which we study here. Using the extension of $K$ generated by $p^m$-th roots of a fixed uniformizer of $K$, we find the optimal constant and some more information about those elements in ${\mathbf{C}}_p$ satisfying $v(\sigma x-x)\ge A$ for all $\sigma \in G$, which allows us to give a description the first cohomology group of $G$ with coefficients in the ring of integers of $K$.

[1] Ax, J. Zeros of polynomials over local fields, Journal of Algebra, Volume 15 (1970), pp. 417-428 | DOI | MR | Zbl

[2] Breuil, C. Une application du corps des normes, Compositiones Mathematicae, Volume 117 (1999), pp. 189-203 | DOI | MR | Zbl

[3] Caruso, X. ${\mathbf{F}}_p$-représentations semi-stables (préprint, 2008)

[4] Colmez, P. Notes du cours de M2 (Corps locaux, http ://people.math.jussieu.fr /colmez)

[5] Colmez, P. Notes du cours de M2 (Introduction aux anneaux de Fontaine, http ://people.math.jussieu.fr/ colmez)

[6] Kedlaya, K. The algebraic closure of the power series field in positive characteristic, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 129 (2001), pp. 3461-3470 | DOI | MR | Zbl

[7] Kedlaya, K. Power Series and $p$-adic Algebraic Closures, Journal of Number Theory, Volume 89 (2001), pp. 24-339 | DOI | MR | Zbl

[8] Sen, S. On automorphisms of local fields, Annals of Mathematics, Volume 90 (1969), pp. 33-46 | DOI | MR | Zbl

[9] Serre, J.-P. Corps locaux, Hermann, 1968 | MR

[10] Tate, J. $p$-divisible groups, Proceedings of a conference on Local fields, Springer, Driebergen (1966), pp. 158-183 | MR | Zbl

[11] Wintenberger, J.-P. Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux ; applications, Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, Volume 16 (1983), pp. 59-89 (4ème série) | Numdam | MR | Zbl