Les espaces de Berkovich sont excellents

Ducros, Antoine

Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 4, pp. 1443-1552.

Dans ce texte, nous commençons par étudier les anneaux locaux d’un (bon) espace de Berkovich du point de vue de l’algèbre commutative  : nous montrons qu’ils sont excellents  ; nous nous intéressons au comportement de certaines de leurs propriétés éventuelles ($R_m$, $S_m$, etc.) par extension des scalaires, et pour ce faire nous introduisons la notion d’extension analytiquement séparable d’un corps ultramétrique complet  ; nous établissons enfin à leur sujet des théorèmes de type GAGA pour les schémas de type fini sur une algèbre affinoïde. La seconde partie de ce travail est consacrée à des questions plus globales étroitement liées aux précédentes  : composantes irréductibles d’un espace analytique, normalisation, et comportement de l’irréductibilité et de la connexité par changement de base.

In this paper, we first study the local rings of a (good) Berkovich analytic space from the point of view of commutative algebra: we show that they are excellent; we look at the behaviour of some of their possible properties ($R_m$, $S_m$, and so on) under ground field extension, and in order to do that, we introduce the notion of an analytically separable extension of a non-Archimedean complete field; we endly establish about them GAGA theorems for finitely generated schemes over an affinoid algebra. The remaining part of the paper deals with more global notions which are closely related to the preceeding ones: the irreducible components of an analytic space, its normalization, and the behaviour of irreducibility and connectedness under base change.

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