Kac-Moody groups, hovels and Littelmann paths

Gaussent, Stéphane; Rousseau, Guy

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, pp. 2605-2657.

Nous définissons une sorte d’immeuble $ℐ$ associé à un groupe de Kac-Moody symétrisable sur un corps $K$ muni d’une valuation discrète avec un corps résiduel contenant $ℂ$. Nous l’appelons masure (hovel) à cause de l’absence d’une propriété importante des immeubles. Cependant, de bonnes propriétés restent, par exemple l’existence de retractions de centre un germe de quartier. Cela nous permet de généraliser plusieurs résultats prouvés par S. Gaussent et P. Littelmann dans le cas semi-simple. En particulier, si $K=ℂ\left(\right(t\left)\right)$, les segments géodésiques dans $ℐ$, d’extrémité un sommet spécial et se rétractant sur un chemin donné $\pi$, sont paramétrés par un ouvert de Zariski $P$ de ${ℂ}^N$. Cette dimension $N$ est maximale quand $\pi$ est un chemin LS et alors $P$ est fortement associé à un cycle de Mirković-Vilonen.

We give the definition of a kind of building $ℐ$ for a symmetrizable Kac-Moody group over a field $K$ endowed with a discrete valuation and with a residue field containing $ℂ$. Due to the lack of some important property of buildings, we call it a hovel. Nevertheless, some good ones remain, for example, the existence of retractions with center a sector-germ. This enables us to generalize many results proved in the semisimple case by S. Gaussent and P. Littelmann. In particular, if $K=ℂ\left(\right(t\left)\right)$, the geodesic segments in $ℐ$, ending in a special vertex and retracting onto a given path $\pi$, are parametrized by a Zariski open subset $P$ of ${ℂ}^N$. This dimension $N$ is maximal when $\pi$ is a LS path and then $P$ is closely related to some Mirković-Vilonen cycle.

Classification : 22E46, 20G05, 17B67, 22E65, 20E42, 51E24
Mots clés : Kac-Moody group, valuated field, building, path

[1] Bardy, Nicole Systèmes de racines infinis, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) (1996) no. 65, pp. vi+188 | Numdam | MR | Zbl

[2] Brown, Kenneth S. Buildings, Springer, 1989 | MR | Zbl

[3] Bruhat, F.; Tits, J. Groupes réductifs sur un corps local, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1972) no. 41, pp. 5-251 | Numdam | MR | Zbl

[4] Garland, Howard A Cartan decomposition for p-adic loop groups, Math. Ann., Volume 302 (1995), pp. 151-175 | DOI | MR | Zbl

[5] Gaussent, Stéphane; Littelmann, Peter LS galleries, the path model and MV cycles, Duke Math. J., Volume 127 (2005), pp. 35-88 | DOI | MR | Zbl

[6] Kac, Victor G. Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, 1990 | MR | Zbl

[7] Kac, Victor G.; Peterson, Dale H. Defining relations of certain infinite dimensional groups, Élie Cartan et les mathématiques d’aujourd’hui, Lyon (1984), Astérisque n o hors série, 1985, pp. 165-208 | Numdam | Zbl

[8] Kapovich, Misha; Millson, John J. A path model for geodesics in euclidean buildings and its applications to representation theory, Geometry, Groups and Dynamics, Volume 2 (2008) no. 3, pp. 405-480 | DOI | MR

[9] Kumar, Shrawan Kac-Moody groups, their flag varieties and representation theory, Progress in Math. 204 Birkhäuser, 2002 | MR | Zbl

[10] Littelmann, Peter A Littlewood-Richardson rule for symmetrizable Kac-Moody algebras, Invent. Math., Volume 116 (1994) no. 1-3, pp. 329-346 | DOI | MR | Zbl

[11] Littelmann, Peter Paths and root operators in representation theory, Annals of Math., Volume 142 (1995), pp. 499-525 | DOI | MR | Zbl

[12] Littelmann, Peter The path model, the quantum Frobenius map and standard monomial theory, Algebraic groups and their representations (Cambridge, 1997) (NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci.), Volume 517, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, pp. 175-212 | MR | Zbl

[13] Mirković, Ivan; Vilonen, Kari Perverse sheaves on affine Grassmannians and Langlands duality, Math. Res. Lett., Volume 7 (2000), pp. 13-24 | MR | Zbl

[14] Moody, Robert; Pianzola, Arturo Lie algebras with triangular decompositions, Wiley-Interscience, New York, 1995 | MR | Zbl

[15] Rémy, Bertrand Groupes de Kac-Moody déployés et presque déployés, Astérisque (2002) no. 277, pp. viii+348 | Numdam | MR | Zbl

[16] Ronan, Mark A. Lectures on buildings, Perspectives in Math. 7 Academic Press, 1989 | Zbl

[17] Rousseau, Guy Groupes de Kac-Moody déployés sur un corps local, immeubles microaffines, Compositio Mathematica, Volume 142 (2006), pp. 501-528 | DOI | MR | Zbl

[18] Rousseau, Guy; Bessières, L.; Parreau, A.; Rémy, B. Euclidean buildings, Géométries à courbure négative ou nulle, groupes discrets et rigidité, Grenoble 2004, Volume 18, Séminaires et congrès, Soc. Math. France, 2008, pp. 77-116

[19] Rousseau, Guy Groupes de Kac-Moody déployés sur un corps local 2, masures ordonnées (2008) (en préparation)

[20] Rousseau, Guy Masures affines (2008) (Preprint, Nancy)

[21] Tits, Jacques; Rosati, L.A. Immeubles de type affine, Buildings and the geometry of diagrams, Como (1984), Volume 1181, Lecture Notes in Math., 1986, pp. 159-190 | MR | Zbl

[22] Tits, Jacques Uniqueness and presentation of Kac-Moody groups over fields, J. of Algebra, Volume 105 (1987), pp. 542-573 | DOI | MR | Zbl

[23] Tits, Jacques; Liebeck, M.; Saxl, J. Twin buildings and groups of Kac-Moody type, Groups combinatorics and geometry, Durham (1990), Volume 165, London Math. Soc. lecture note, 1992, pp. 249-286 | MR | Zbl