The fundamental groupoid scheme and applications

Esnault, Hélène; Hai, Phùng Hô

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 7, pp. 2381-2412.

Nous définissons une structure linéaire sur le groupe fondamental arithmétique ${\pi }_1(X,x)$ d’un schéma $X$ défini sur un corps $k$ de caractéristique 0. Cela nous permet de lier l’existence de sections du groupe de Galois $Gal(\overline{k}/k)$ vers ${\pi }_1(X,x)$ à l’existence d’un foncteur neutre sur la catégorie qui linéarise ce dernier. Nous appliquons cette construction à une courbe affine et aux foncteurs neutres qui proviennent d’un vecteur tangent à l’infini. Nous pouvons ainsi suivre ce point rationnel dans le revêtement universel de la courbe affine.

We define a linear structure on Grothendieck’s arithmetic fundamental group ${\pi }_1(X,x)$ of a scheme $X$ defined over a field $k$ of characteristic 0. It allows us to link the existence of sections of the Galois group $Gal(\overline{k}/k)$ to ${\pi }_1(X,x)$ with the existence of a neutral fiber functor on the category which linearizes it. We apply the construction to affine curves and neutral fiber functors coming from a tangent vector at a rational point at infinity, in order to follow this rational point in the universal covering of the affine curve.

[1] Deligne, P. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points, Galois groups over $\mathbf{Q}$ (Berkeley, CA, 1987) (Math. Sci. Res. Inst. Publ.), Volume 16, Springer, New York, 1989, pp. 79-297 | MR | Zbl

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[4] Esnault, H.; Hai, P.H.; Sun, X.-T. On Nori group scheme, Progress in Math., Birkhäuser, Volume 265 (2007), pp. 375-396

[5] Esnault, Hélène; Hai, Phùng Hô The Gauss-Manin connection and Tannaka duality, Int. Math. Res. Not. (2006), pp. 35 (Art. ID 93978) | DOI | MR | Zbl

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[7] Grothendieck, Alexander Brief an G. Faltings, Geometric Galois actions, 1 (London Math. Soc. Lecture Note Ser.), Volume 242, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, pp. 49-58 (With an English translation on pp. 285–293) | MR | Zbl

[8] Hai, P.H. A construction of a quotient category (2006) (24 pages, preprint)

[9] Katz, Nicholas M. On the calculation of some differential Galois groups, Invent. Math., Volume 87 (1987) no. 1, pp. 13-61 | DOI | MR | Zbl

[10] Nori, Madhav V. On the representations of the fundamental group, Compositio Math., Volume 33 (1976) no. 1, pp. 29-41 | Numdam | MR | Zbl

[11] Nori, Madhav V. The fundamental group-scheme, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., Volume 91 (1982) no. 2, pp. 73-122 | DOI | MR | Zbl