A Bochner type theorem for inductive limits of Gelfand pairs

Rabaoui, Marouane

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 5, pp. 1551-1573.

Dans cet article, on démontre une généralisation du théorème de Bochner-Godement. Ce résultat concerne les paires sphériques d’Olshanski qui sont définies comme des limites inductives de suites croissantes de paires de Guelfand ${\left(G\left(n\right),K\left(n\right)\right)}_{n\ge 1}$. En utilisant la théorie de la représentation intégrale de G. Choquet sur les cônes convexes, on établit une représentation intégrale de type Bochner pour tout élément $\varphi$ de l’ensemble ${𝒫}^{♮}\left(G\right)$ des fonctions continues sur $G$, de type positif et biinvariantes par $K$.

In this article, we prove a generalisation of Bochner-Godement theorem. Our result deals with Olshanski spherical pairs $(G,K)$ defined as inductive limits of increasing sequences of Gelfand pairs ${(G\left(n\right),K\left(n\right))}_{n\ge 1}$. By using the integral representation theory of G. Choquet on convex cones, we establish a Bochner type representation of any element $\varphi$ of the set ${𝒫}^{♮}\left(G\right)$ of $K$-biinvariant continuous functions of positive type on $G$.

Classification : 22E30, 43A35, 43A85, 43A90
Keywords: Function of positive type, Gelfand pair, Bochner-Godement theorem, spherical pair, inductive limit, Von Neumann algebra
Mot clés : fonction continue de type positif, paire de Guelfand, théorème de Bochner-Godement, paire sphérique, limite inductive, algèbre de Von Neumann

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