On the Fefferman-Phong inequality

Boulkhemair, Abdesslam

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, pp. 1093-1115.

Nous montrons que le nombre de dérivées d’un symbole non négatif d’ordre 2, nécessaire pour établir l’inégalité classique de Fefferman-Phong est majoré par $\frac{n}{2}+4+ϵ$ améliorant ainsi la borne $2n+4+ϵ$ obtenue récemment par N. Lerner et Y. Morimoto. Dans le cas des symboles de type $S_{0,0}^0$, nous montrons que ce nombre est majoré par $n+4+ϵ$ ; plus précisément, pour un symbole non négatif $a$, on a l’inégalité de Fefferman-Phong si les ${\partial }_x^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a(x,\xi )$ sont bornées en gros pour $4\le \left|\alpha \right|+\left|\beta \right|\le n+4+ϵ$. Pour obtenir ces résultats et d’autres, nous commençons par établir un résultat abstrait qui dit que l’inégalité de Fefferman-Phong pour un symbole non négatif $a$ a lieu pourvu que les dérivées partielles d’ordre 4 de $a$ soient dans une algèbre $𝒜$ de fonctions bornées sur l’espace des phases, qui vérifie essentiellement deux conditions  : $𝒜$ est, en gros, invariante par translation et les opérateurs associés aux symboles de $𝒜$ sont bornés dans $L^2$.

We show that the number of derivatives of a non negative 2-order symbol needed to establish the classical Fefferman-Phong inequality is bounded by $\frac{n}{2}+4+ϵ$ improving thus the bound $2n+4+ϵ$ obtained recently by N. Lerner and Y. Morimoto. In the case of symbols of type $S_{0,0}^0$, we show that this number is bounded by $n+4+ϵ$; more precisely, for a non negative symbol $a$, the Fefferman-Phong inequality holds if ${\partial }_x^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a(x,\xi )$ are bounded for, roughly, $4\le \left|\alpha \right|+\left|\beta \right|\le n+4+ϵ$. To obtain such results and others, we first prove an abstract result which says that the Fefferman-Phong inequality for a non negative symbol $a$ holds whenever all fourth partial derivatives of $a$ are in an algebra $𝒜$ of bounded functions on the phase space, which satisfies essentially two assumptions : $𝒜$ is, roughly, translation invariant and the operators associated to symbols in $𝒜$ are bounded in $L^2$.

[1] Bony, J.-M. Sur l’inégalité de Fefferman-Phong, Séminaire EDP, Ecole polytechnique (1998–1999) (Exposé no 3) | Numdam

[2] Boulkhemair, A. $L^2$ estimates for pseudodifferential operators, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Volume IV, XXII, 1 (1995), pp. 155-183 | Numdam | MR | Zbl

[3] Boulkhemair, A. Remarks on a Wiener type pseudodifferential algebra and Fourier integral operators, Math. Res. Lett., Volume 4 (1997), pp. 53-67 | MR | Zbl

[4] Boulkhemair, A. $L^2$ estimates for Weyl quantization, J. Funct. Anal., Volume 165 (1999), pp. 173-204 | DOI | MR | Zbl

[5] Coifman, R.; Meyer, Y. Au delà des opérateurs pseudodifférentiels, 57, Astérisque, 1978 | Numdam | Zbl

[6] Fefferman, C.; Phong, D. H. On positivity of pseudodifferential operators, Proc. Nat. Acad. Sci., Volume 75 (1978), pp. 4673-4674 | DOI | MR | Zbl

[7] Hörmander, L. The analysis of partial differential operators, Springer Verlag, 1985 | Zbl

[8] Lerner, N.; Morimoto, Y. On the Fefferman-Phong inequality and a Wiener type algebra of pseudodifferential operators, Preprint, 2005 to appear in the Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (Kyoto University) | MR

[9] Lerner, N.; Morimoto, Y. A Wiener algebra for the Fefferman-Phong inequality, Séminaire EDP, Ecole polytechnique (2005–2006) (Exposé no 17) | Numdam | MR | Zbl

[10] Sjöstrand, J. An algebra of pseudodifferential operators, Math. Res. Lett., Volume 1,2 (1994), pp. 189-192 | MR | Zbl

[11] Tataru, D. On the Fefferman-Phong inequality and related problems, Comm. Partial Differential Equations, Volume 27 (2002) no. 11-12, pp. 2101-2138 | DOI | MR | Zbl