On the Fefferman-Phong inequality

Boulkhemair, Abdesslam

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 4, pp. 1093-1115.

Nous montrons que le nombre de dérivées d’un symbole non négatif d’ordre 2, nécessaire pour établir l’inégalité classique de Fefferman-Phong est majoré par $\frac{n}{2}+4+ϵ$ améliorant ainsi la borne $2n+4+ϵ$ obtenue récemment par N. Lerner et Y. Morimoto. Dans le cas des symboles de type $S_{0,0}^0$, nous montrons que ce nombre est majoré par $n+4+ϵ$ ; plus précisément, pour un symbole non négatif $a$, on a l’inégalité de Fefferman-Phong si les ${\partial }_x^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a(x,\xi )$ sont bornées en gros pour $4\le \left|\alpha \right|+\left|\beta \right|\le n+4+ϵ$. Pour obtenir ces résultats et d’autres, nous commençons par établir un résultat abstrait qui dit que l’inégalité de Fefferman-Phong pour un symbole non négatif $a$ a lieu pourvu que les dérivées partielles d’ordre 4 de $a$ soient dans une algèbre $𝒜$ de fonctions bornées sur l’espace des phases, qui vérifie essentiellement deux conditions  : $𝒜$ est, en gros, invariante par translation et les opérateurs associés aux symboles de $𝒜$ sont bornés dans $L^2$.

We show that the number of derivatives of a non negative 2-order symbol needed to establish the classical Fefferman-Phong inequality is bounded by $\frac{n}{2}+4+ϵ$ improving thus the bound $2n+4+ϵ$ obtained recently by N. Lerner and Y. Morimoto. In the case of symbols of type $S_{0,0}^0$, we show that this number is bounded by $n+4+ϵ$; more precisely, for a non negative symbol $a$, the Fefferman-Phong inequality holds if ${\partial }_x^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a(x,\xi )$ are bounded for, roughly, $4\le \left|\alpha \right|+\left|\beta \right|\le n+4+ϵ$. To obtain such results and others, we first prove an abstract result which says that the Fefferman-Phong inequality for a non negative symbol $a$ holds whenever all fourth partial derivatives of $a$ are in an algebra $𝒜$ of bounded functions on the phase space, which satisfies essentially two assumptions : $𝒜$ is, roughly, translation invariant and the operators associated to symbols in $𝒜$ are bounded in $L^2$.

Classification : 35Axx, 35Sxx, 47G30, 58J40
Keywords: Fefferman-Phong inequality, Gårding inequality, symbol, $S^m_{\varrho ,\delta }$, pseudodifferential operator, Weyl quantization, Wick quantization, semi-boundedness, $L^2$ boundedness, algebra of symbols, uniformly local Sobolev space, Hölder space, semi-classical, Weyl-Hörmander class
Mot clés : inégalité de Fefferman-Phong, inégalité de Gårding, symbole, $S^m_{\varrho ,\delta }$, opérateur pseudodifférentiel, quantification de Weyl, quantification de Wick, semi-borné, continuité $L^2$, algèbre de symboles, espace de Sobolev uniformément local, classe de Hölder, semi-classique, classe de Weyl-Hörmander

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