Sur les homéomorphismes du cercle de classe $P$ $C^r$ par morceaux ($r\ge 1$) qui sont conjugués $C^r$ par morceaux aux rotations irrationnelles

Adouani, Abdelhamid; Marzougui, Habib

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 3, pp. 755-775.

Soit $r\ge 1$ un réel. Ici, on étudie les homéomorphismes du cercle qui sont de classe $P$ $C^r$ par morceaux et de nombres de rotation irrationnels. On caractérise ceux qui sont $C^r$ par morceaux conjugués à des $C^r$-difféomorphismes. Comme conséquence, on obtient un critère de conjugaison $C^1$ par morceaux aux rotations diophantiennes. Cette caractérisation étend celles obtenues par Liousse pour les homéomorphismes affines par morceaux du cercle et par Dzhalilov pour les homéomorphismes de classe $P$ de nombres de rotation de type constant. On montre aussi que tout sous-groupe d’homéomorphismes de classe $P$ $C^r$ par morceaux qui est abélien et qui contient au moins deux éléments de nombres de rotation irrationnels et rationnellement indépendants est $C^r$ par morceaux conjugué à un sous-groupe de $C^r$-difféomorphismes. On en déduit un résultat de conjugaison $C^{\infty }$ (resp. $C^{\omega }$) pour les homéomorphismes de classe $P$ $C^{\infty }$ (resp. $C^{\omega }$) par morceaux commutants qui est l’analogue du récent résultat de Fayad et Khanin.

Let $r\ge 1$ be a real. In this paper, we study piecewise class $P$ $C^r$ circle homeomorphisms with irrational rotation numbers. We give characterizations for such homeomorphisms that are piecewise $C^r$ conjugate to $C^r$ diffeomorphisms. As a consequence, we obtain a criterion of piecewise $C^r$ conjugacy to diophantine rotations. This characterization extends those obtained by Liousse for the $PL$ circle homeomorphisms and by Dzhalilov for the piecewise class $P$ circle homeomorphisms with rotation numbers of constant type. We also show that every abelian subgroup of piecewise class $P$ $C^r$ circle homeomorphism which contains at least two elements with rotation numbers irrational and rationally independent, is piecewise $C^r$ conjugate to a subgroup of $C^r$ diffeomorphisms. An analogous to a recent result of Fayad and Khanin, is obtained concerning $C^{\infty }$ (resp. $C^{\omega }$) conjugacy for piecewise class $P$ $C^{\infty }$ (resp. $C^{\omega }$) commuting homeomorphisms of the circle.

Classification : 37C15, 37E10
Mot clés : homéomorphisme de classe $P$ $C^{r}$ par morceaux, condition de Hölder, nombre de rotation, conjugaison, point de coupure, point singulier, saut, mesure invariante, mesure équivalente, mesure singulière
Keywords: Piecewise class $P$ $C^{r}$ homeomorphism of the circle, Hölder condition, rotation number, conjugacy, break point, singular point, jump, invariant measure, equivalent measure, singular measure

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