Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée
Colbois, Bruno1 ; Vernicos, Constantin1
1 Institut de mathématique Université de Neuchâtel Rue Émile Argand 11 Case postale 158 2009 Neuchâtel (Switzerland)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1359-1375.

On montre que la géométrie de Hilbert d’un domaine convexe de ℝ n est à géométrie locale bornée c-à-d que pour un rayon fixé, toutes les boules sont bilipschitz à un domaine de ℝ n euclidien. On en déduit que si la géométrie de Hilbert est hyperbolique au sens de Gromov, alors le bas de son spectre est strictement positif. On donne un contre-exemple en dimension trois qui montre que la réciproque n’est pas vraie pour les géométries de Hilbert non planes.

We prove that the Hilbert geometry of a convex domain in ℝ n has bounded local geometry, i.e., for a given radius, all balls are bilipschitz to a euclidean domain of ℝ n . As a consequence, if the Hilbert geometry is also Gromov hyperbolic, then the bottom of its spectrum is strictly positive. We also give a counter exemple in dimension three wich shows that the reciprocal is not true for non plane Hilbert geometries.

DOI : 10.5802/aif.2297
Classification : 53C60, 53C24, 51F99, 53A40
Mot clés : géométrie de Hilbert, hyperbolicité, bas du spectre
Keywords: Hilbert Geometries, hyperbolicity, bottom of the spectrum, local geometry
Colbois, Bruno 1 ; Vernicos, Constantin 1

1 Institut de mathématique Université de Neuchâtel Rue Émile Argand 11 Case postale 158 2009 Neuchâtel (Switzerland) 
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Cité par Sources :