Construction of Sobolev spaces of fractional order with sub-riemannian vector fields

Mustapha, Sami; Vigneron, François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1023-1049.

Étant donné une famille de champs de vecteurs $𝒵$ vérifiant la condition de Chow-Hörmander de rang 2 et une hypothèse de régularité, on montre que les espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire construits par les procédés standards de l’analyse fonctionnelle admettent une caractérisation géométrique à l’aide de la distance sous-riemannienne induite par la famille $𝒵$. L’approche proposée est basée sur une analyse microlocale des opérateurs de translation dans un contexte anisotrope. Elle utilise aussi des estimations classiques du noyau de la chaleur associé à un Laplacien sous-elliptique.

Given a smooth family of vector fields satisfying Chow-Hörmander’s condition of step 2 and a regularity assumption, we prove that the Sobolev spaces of fractional order constructed by the standard functional analysis can actually be “computed” with a simple formula involving the sub-riemannian distance.

Our approach relies on a microlocal analysis of translation operators in an anisotropic context. It also involves classical estimates of the heat-kernel associated to the sub-elliptic Laplacian.

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