A finiteness result for the compactly supported cohomology of rigid analytic varieties, II

Huber, Roland

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 3, pp. 973-1017.

Soit $h:X\to Y$ un morphisme séparé d’espaces adiques de type fini sur un corps non archimédien $k$ avec $Y$ affinoïde et de dimension $\le 1$. Soit $L$ un sous-ensemble constructible localement fermé dans $X$ et soit $g:(X,L)\to Y$ le morphisme d’espaces pseudo-adiques induit de $h$. Soit $A$ un anneau noethérien de torsion première à la caractéristique résiduelle de $k$ et soit $F$ un faisceau de $A$-modules localement constant de type fini sur ${(X,L)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$. Il y a une classe naturelle $𝒞\left(Y\right)$ des faisceaux de $A$-modules sur $Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ engendrée par des faisceaux de $A$-modules constructibles et des faisceaux de $A$-modules Zariski-constructibles. Nous montrons que le faisceau image directe à support propre $R^n{g}_{!}F$ est génériquement constructible, et si $h$ est localement algébrique, $R^n{g}_{!}F$ est un élément de $𝒞\left(Y\right)$. En conséquence, on obtient un théorème de comparaison entre cohomologie $\ell$-adique d’un schéma séparé de type fini sur $k$ et de l’espace adique associé.

Let $h:X\to Y$ be a separated morphism of adic spaces of finite type over a non-archimedean field $k$ with $Y$ affinoid and of dimension $\le 1$, let $L$ be a locally closed constructible subset of $X$ and let $g:(X,L)\to Y$ be the morphism of pseudo-adic spaces induced by $h$. Let $A$ be a noetherian torsion ring with torsion prime to the characteristic of the residue field of the valuation ring of $k$ and let $F$ be a constant $A$-module of finite type on ${(X,L)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$. There is a natural class $𝒞\left(Y\right)$ of $A$-modules on $Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ generated by the constructible $A$-modules and the Zariski-constructible $A$-modules. We show that, for every $n\in {\mathbb{N}}_0$, the higher direct image sheaf with proper support $R^n{g}_{!}F$ is generically constructible, and if $h$ is locally algebraic, $R^n{g}_{!}F$ is an element of $𝒞\left(Y\right)$. As an application we obtain a comparison isomorphism for the $\ell$-adic cohomology of a separated scheme of finite type over $k$ and its associated adic space.

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