Invariance for multiples of the twisted canonical bundle

Claudon, Benoît

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 289-300.

Soit $\pi :𝒳\to \Delta$ une famille de variétés projectives et $(L,h)$ un fibré pseudo-effectif sur $𝒳$ ($i.e.$ la coubure $\Theta hL$ de $L$ est un courant positif fermé). Dans ses travaux sur l’invariance des plurigenres, Y. T. Siu s’intéressait à l’extension de sections de $m{K}_{{𝒳}_0}+L$ (au dessus de la fibre centrale ${𝒳}_0$) en sections de $m{K}_{𝒳}+L$. On considère ici le problème suivant  : étendre des sections de $m(K_{𝒳}+L)$. Plus précisément, sous la condition de trivialité de l’idéal muliplicateur de la métrique $h$ sur la fibre centrale ($ℐ\left(h_{|{𝒳}_0}\right)={𝒪}_{{𝒳}_0}$), on montre que toute section de $m(K_{{𝒳}_0}+L)$ s’étend en une section de $m(K_{𝒳}+L)$ ; en d’autres termes, l’application de restriction

$$H^0(𝒳,m(K_{𝒳}+L))\to H^0({𝒳}_0,m(K_{{𝒳}_0}+L))$$

est surjective.

À la fin de cet article, la comparaison avec un énoncé analogue concernant les variétés projectives (dû à S. Takayama) nous amène à discuter des différentes hypothèses de positivité formulées dans ces différents résultats d’extension.

Let $𝒳\to \Delta$ a smooth projective family and $(L,h)$ a pseudo-effective line bundle on $𝒳$ (i.e. with a non-negative curvature current $\Theta hL$). In its works on invariance of plurigenera, Y.-T. Siu was interested in extending sections of $m{K}_{{𝒳}_0}+L$ (defined over the central fiber of the family ${𝒳}_0$) to sections of $m{K}_{𝒳}+L$. In this article we consider the following problem: to extend sections of $m(K_{𝒳}+L)$. More precisely, we show the following result: assuming the triviality of the multiplier ideal sheaf $ℐ({𝒳}_0,h_{|{𝒳}_0})$, any section of $m(K_{{𝒳}_0}+L)$ extends to $𝒳$ ; in other words, the restriction map:

$$H^0(𝒳,m(K_{𝒳}+L))\to H^0({𝒳}_0,m(K_{{𝒳}_0}+L))$$

is surjective.

At the end of this paper, we compare this result to the case of projective manifolds: in this situation an analogous statement (due to S. Takayama) is given to extend (twisted) pluricanonical sections. This lead us to discuss the different positivity assumptions required in extension results.

[1] Demailly, J.-P. private communication (2006)

[2] Demailly, J.-P.; Peternell, T.; Schneider, M. Compact complex manifolds with numerically effective tangent bndles, J. Alg. Geom., Volume 3 (1994), pp. 295-345 | MR | Zbl

[3] Oshawa, T.; Takegoshi, K. On the extension of $L^2$ holomorphic functions, Math. Z., Volume 195 (1987), pp. 197-204 | DOI | MR | Zbl

[4] Paun, M. Siu’s Invariance of Plurigenera : a One-Tower Proof, preprint, 2005

[5] Siu, Y.-T. Extension of pluricanonical sections with plurisubharmonic weight and invariance of semipositively twisted plurigenera for manifolds not necessarily of general type, Complex Geometry, springer, 2002, pp. 223-277 | MR | Zbl

[6] Takayama, S. Pluricanonical systems on algebraic varieties of general type, preprint, 2005