On Halphen’s Theorem and some generalizations

Lins Neto, Alcides

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 6, pp. 1947-1982.

Soit $M^n$ un germe en $0\in {ℂ}^m$ d’ensemble analytique irréductible de dimension $n$, où $n\ge 2$ et $0$ est un point singulier de $M$. Nous étudions le problème suivant  : quand est-ce qu’il existe un germe d’application holomorphe $\phi :({ℂ}^m,0)\to (M,0)$ telle que ${\phi }^{-1}\left(0\right)=\left\{0\right\}$  ? Nous démontrons essentiellement trois résultats. Dans le théorème 1 nous considérons le cas où $M$ est une intersection complète quasi-homogène de $k$ polynômes $F=(F_1,...,F_k)$, c’est-à-dire il existe un champ de vecteurs linéaire holomorphe $X$ dans ${ℂ}^m$, avec valeurs propres ${\lambda }_1,...,{\lambda }_m\in {\mathbb{Q}}_{+}$ telles que $X\left(F^T\right)=U·F^T$, où $U$ est une matrice $k\times k$ d’éléments dans ${𝒪}_m$. Nous démontrons que s’il existe un germe d’application $\phi$ comme précédemment et ${dim}_{ℂ}\left(\mathrm{sing}\left(M\right)\right)\le n-2$ alors ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_m>\mathrm{Re}\left(\mathrm{tr}\left(U\right)\right)\left(0\right)$. Dans le théorème 2 nous répondons complètement à la question quand $n=2$, $k=1$ et $0$ est une singularité isolée de $M$. Dans le théorème 3 nous démontrons que, s’il existe une application $\phi$ comme précédemment, $k=1$ et ${dim}_{ℂ}\left(\mathrm{sing}\left(M\right)\right)\le n-2$, alors ${dim}_{ℂ}\left(\mathrm{sing}\left(M\right)\right)=n-2$. Remarquons que les théorèmes 1 et 2 sont des généralisations de quelques résultats de Halphen.

Let $M^n$ be a germ at $0\in {ℂ}^m$ of an irreducible analytic set of dimension $n$, where $n\ge 2$ and $0$ is a singular point of $M$. We study the question: when does there exist a germ of holomorphic map $\phi :({ℂ}^n,0)\to (M,0)$ such that ${\phi }^{-1}\left(0\right)=\left\{0\right\}$ ? We prove essentialy three results. In Theorem 1 we consider the case where $M$ is a quasi-homogeneous complete intersection of $k$ polynomials $F=(F_1,...,F_k)$, that is there exists a linear holomorphic vector field $X$ on ${ℂ}^m$, with eigenvalues ${\lambda }_1,...,{\lambda }_m\in {\mathbb{Q}}_{+}$ such that $X\left(F^T\right)=U·F^T$, where $U$ is a $k\times k$ matrix with entries in ${𝒪}_m$. We prove that if there exists a germ of holomorphic map $\phi$ as above and ${dim}_{ℂ}\left(\mathrm{sing}\left(M\right)\right)\le n-2$, then ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_m>\mathrm{Re}\left(\mathrm{tr}\left(U\right)\left(0\right)\right)$. In Theorem 2 we answer the question completely when $n=2$, $k=1$ and $0$ is an isolated singularity of $M$. In Theorem 3 we prove that, if there exists a map as above, $k=1$ and ${dim}_{ℂ}\left(\mathrm{sing}\left(M\right)\right)\le n-2$, then ${dim}_{ℂ}\left(\mathrm{sing}\left(M\right)\right)=n-2$. We observe that Theorems 1 and 2 are generalizations of some results due to Halphen.

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