Relative ampleness in rigid geometry

Conrad, Brian

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 1049-1126.

Nous développons une théorie analytique rigide de l’amplitude relative pour les fibrés en droites et notons quelques applications à la descente fidèlement plate de morphismes et d’objets géométriques propres. Nous utilisons la définition fibrée, mais nous ne pouvons pas appliquer les arguments ponctuels des cas algébrique et analytique complexe. Nous devons donc utiliser des propriétés cohomologiques des schémas formels sur les anneaux locaux complétés des espaces rigides. Nous introduisons une notion analytique de quasi-cohérence pour retrouver un objet à partir des sections d’un fibré ample par une construction Proj convenable. Nous étudions le lien d’amplitude relative et le comportement de l’amplitude relative par rapport à l’analytification et à l’extension du corps de base arbitraire. En particulier, nous obtenons une démonstration nouvelle rapide du théorème GAGA relatif sur les affinoïdes.

We develop a rigid-analytic theory of relative ampleness for line bundles and record some applications to faithfully flat descent for morphisms and proper geometric objects. The basic definition is fibral, but pointwise arguments from the algebraic and complex-analytic cases do not apply, so we use cohomological properties of formal schemes over completions of local rings on rigid spaces. An analytic notion of quasi-coherence is introduced so that we can recover a proper object from sections of an ample bundle via suitable Proj construction. The locus of relative ampleness in the base is studied, as is the behavior of relative ampleness with respect to analytification and arbitrary extension of the base field. In particular, we obtain a quick new proof of the relative GAGA theorem over affinoids.

Classification : 14G22, 14D15
Keywords: Ampleness, rigid geometry, descent
Mot clés : amplitude, géométrie rigide, descente

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