Feuilletages singuliers de codimension un, groupoïde de Galois et intégrales premières

Casale, Guy

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 3, pp. 735-779.

Dans cet article, nous étudions le groupoïde de Galois d’un germe de feuilletage holomorphe de codimension un. Nous associons à ce $𝒟$-groupoïde de Lie un invariant biméromorphe  : le rang transverse. Nous étudions en détails les relations entre cet invariant, l’existence de suites de Godbillon-Vey particulières et l’existence d’une intégrale première dans une extension fortement normale du corps différentiel des germes de fonctions méromorphes. Nous obtenons ainsi une généralisation d’un théorème de M. Singer sur l’existence d’intégrales premières Liouvilliennes à une classe plus large de transcendantes. L’étude des singularités réduites permet de caractériser le rang transverse sur les invariants de Martinet-Ramis et donne une preuve galoisienne des résultats de Berthier-Touzet.

In this article the Galois groupoid of a germ of codimension one holomorphic foliation is investigated. We define a bimeromorphic invariant of this Lie $𝒟$-groupoid: the transversal rank. Relations between this invariant, existence of special Godbillon-Vey sequences and existence of first integral in a strongly normal extension of the differential field of germs of meromorphic functions are studied. A theorem of M. Singer on Liouvillian first integral is generalized to a larger class of transcendental functions. For reduced singularities, the transversal rank is characterized by Martinet-Ramis invariants and it gives a galoisian proof of results of Berthier-Touzet.

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