Traces and quasi-traces on the Boutet de Monvel algebra

Grubb, Gerd; Schrohe, Elmar

Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 5, pp. 1641-1696.

On construit une fonctionelle analogue à la trace canonique de Kontsevich et Vishik, pour les problèmes aux limites pseudodifférentielles appartenant au calcul de Boutet de Monvel, sur les variétés compactes à bord. Pour un opérateur $A$ de ce calcul (et de classe zéro), avec un opérateur auxiliaire $B$ formé de la réalisation de Dirichlet d’un opérateur différentiel fortement elliptique du second ordre et d’un opérateur elliptique sur le bord, nous considérons le coefficient $C_0(A,B)$ de ${(-\lambda )}^{-N}$ dans le développement asymptotique de la trace de la résolvante $\mathrm{Tr}\left(A{(B-\lambda )}^{-N}\right)$, avec $N$ grand, dans les puissances et puissances logarithmiques de $\lambda$. Ce coefficient s’identifie au coefficient d’ordre zéro dans la série de Laurent pour la fonction zêta $\mathrm{Tr}\left(A{B}^{-s}\right)$ en $s=0$, quand $B$ est inversible. On montre que $C_0(A,B)$ est en général une quasi-trace, en ce sens qu’elle s’annule sur les commutateurs $[A,A^{\text{'}}]$ modulo des termes locaux, ayant une valeur spécifique indépendante de l’opérateur auxiliaire, modulo des termes locaux. Les «erreurs» locales sont nulles quand $A$ est un opérateur de Green singulier d’ordre non entier, ou d’ordre entier avec une certaine parité ; ainsi $C_0(A,B)$ est une trace sur $A$ dans ces cas. Mais les «erreurs» ne sont en général pas nulles quand la partie intérieure o.ps.d. de $A$ est non-triviale.

We construct an analogue of Kontsevich and Vishik’s canonical trace for pseudodifferential boundary value problems in the Boutet de Monvel calculus on compact manifolds with boundary. For an operator $A$ in the calculus (of class zero), and an auxiliary operator $B$, formed of the Dirichlet realization of a strongly elliptic second-order differential operator and an elliptic operator on the boundary, we consider the coefficient $C_0(A,B)$ of ${(-\lambda )}^{-N}$ in the asymptotic expansion of the resolvent trace $\mathrm{Tr}\left(A{(B-\lambda )}^{-N}\right)$ (with $N$ large) in powers and log-powers of $\lambda$. This coefficient identifies with the zero-power coefficient in the Laurent series for the zeta function $\mathrm{Tr}\left(A{B}^{-s}\right)$ at $s=0$, when $B$ is invertible. We show that $C_0(A,B)$ is in general a quasi-trace, in the sense that it vanishes on commutators $[A,A^{\text{'}}]$ modulo local terms, and has a specific value independent of the auxiliary operator, modulo local terms. The local “errors” vanish when $A$ is a singular Green operator of noninteger order, or of integer order with a certain parity; then $C_0(A,B)$ is a trace of $A$. They do not in general vanish when the interior ps.d.o. part of $A$ is nontrivial.

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