A spectral analysis of automorphic distributions and Poisson summation formulas

Unterberger, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 5, pp. 1151-1196.

Les distributions automorphes sur ${ℝ}^d$ sont celles invariantes par l’action linéaire du groupe $SL(d,\mathbb{Z})$. Un cas particulier est constitué par les peignes, qui sont en outre des mesures à support dans ${\mathbb{Z}}^d$ : la décomposition d’un peigne en ses composantes homogènes se fait suivant la famille ${\left({𝔈}_{i\lambda }^d\right)}_{\lambda \in ℝ}$, des distributions d’Eisenstein, les coefficients étant donnés par une série de Dirichlet $𝒟\left(s\right)$. Les équations fonctionnelles du genre usuel (Hecke) relatives à $𝒟\left(s\right)$, peuvent se traduire en termes de l’invariance du peigne considéré par la transformation de Fourier, légèrement modifiée. Ceci conduit à une façon automatique d’associer des formules du genre de la formule de Poisson, ou de celle de Voronoï, aux formes modulaires, holomorphes ou non-holomorphes

Automorphic distributions are distributions on ${ℝ}^d$, invariant under the linear action of the group $SL(d,\mathbb{Z})$. Combs are characterized by the additional requirement of being measures supported in ${\mathbb{Z}}^d$: their decomposition into homogeneous components involves the family ${\left({𝔈}_{i\lambda }^d\right)}_{\lambda \in ℝ}$, of Eisenstein distributions, and the coefficients of the decomposition are given as Dirichlet series $𝒟\left(s\right)$. Functional equations of the usual (Hecke) kind relative to $𝒟\left(s\right)$ turn out to be equivalent to the invariance of the comb under some modification of the Fourier transformation. This leads to an automatic way to associate Poisson-like (or Voronoï-like) summation formulas to (holomorphic or non-holomorphic) modular forms

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