Fixed points of discrete nilpotent group actions on S 2
[Points fixes d’actions des groupes nilpotents discrets sur S 2 ]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 4, pp. 1075-1091.

On démontre que pour chaque entier k2 il existe un voisinage ouvert 𝒱 k de l’application identité de la 2-sphère, pour la C 1 topologie, tel que : si G Diff 1 (S 2 ) est un sous-groupe nilpotent à longueur de nilpotence k, engendré par une famille quelconque d’éléments de 𝒱 k , alors l’action naturelle de G sur S 2 a un point fixe. De plus, en présence d’une orbite finie cette action a au moins deux points fixes.

We prove that for each integer k2 there is an open neighborhood 𝒱 k of the identity map of the 2-sphere S 2 , in C 1 topology such that: if G is a nilpotent subgroup of Diff 1 (S 2 ) with length k of nilpotency, generated by elements in 𝒱 k , then the natural G-action on S 2 has nonempty fixed point set. Moreover, the G-action has at least two fixed points if the action has a finite nontrivial orbit.

DOI : 10.5802/aif.1912
Classification : 37B05, 37C25, 37C85
Keywords: group action, nilpotent group, fixed point
Mot clés : action de groupe, groupe nilpotent, point fixe
Druck, Suely  ; Fang, Fuquan 1 ; Firmo, Sebastião 2

1 Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matematica, Rua Mário Santos Braga s/n, Valonguinho, 24020-140 Niterói RJ (Brésil)
2 Nankai Institute of Mathematics, Tianjin 300071 (Rép. Pop. Chine) et Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matematica, Rua Mário Santos Braga s/n, Valonguinho, 24020-140 Niterói RJ (Brésil)
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[1] C. Bonatti Un point fixe commun pour des difféomorphismes commutants de S 2 , Annals of Math., Volume 129 (1989), pp. 61-69 | DOI | MR | Zbl

[2] C. Bonatti Difféomorphismes commutants des surfaces et stabilité des fibrations en tores, Topology, Volume 29 (1989) no. 1, pp. 101-126 | DOI | MR | Zbl

[3] C. Camacho; A. Lins Neto Geometric Theory of Foliations, Birkhäuser, Boston, 1985 | MR | Zbl

[4] S. Druck; F. Fang; S. Firmo Fixed points of discrete nilpotent groups actions on surfaces (In preparation)

[5] D.B.A. Epstein; W.P. Thurston Transformations groups and natural bundles, Proc. London Math. Soc., Volume 38 (1979), pp. 219-236 | DOI | MR | Zbl

[6] E. Ghys Sur les groupes engendrés par des difféomorphismes proche de l'identité, Bol. Soc. Bras. Mat., Volume 24 (1993) no. 2, pp. 137-178 | DOI | MR | Zbl

[7] C. Godbillon Feuilletages - Études géométriques, Birkhäuser, 1991 | MR | Zbl

[8] M. Handel Commuting homeomorphisms of S 2 , Topology, Volume 31 (1992), pp. 293-303 | DOI | MR | Zbl

[9] E. Lima Commuting vector fields on 2-manifolds, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 69 (1963), pp. 366-368 | DOI | MR | Zbl

[10] E. Lima Commuting vector fields on S 2 , Proc. Amer. Math. Soc., Volume 15 (1964), pp. 138-141 | MR | Zbl

[11] E. Lima Common singularities of commuting vector fields on 2-manifolds, Comment. Math. Helv., Volume 39 (1964), pp. 97-110 | DOI | EuDML | MR | Zbl

[12] J.F. Plante Fixed points of Lie group actions on surfaces, Ergod. Th \& Dynam. Sys., Volume 6 (1986), pp. 149-161 | MR | Zbl

[13] H. Poincaré Sur les courbes définis par une équation différentielle, J. Math. Pures Appl., Volume 4 (1885) no. 1, pp. 167-244 | EuDML | JFM | Numdam

[14] M. Raghunathan Discrete subgroups of Lie groups, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1972 | MR | Zbl

[15] J. Rotman An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995 | MR | Zbl

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