Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold

Brylinski, Ranee

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 881-897.

Soit $X$ une variété de drapeaux (généralisés) pour un groupe de Lie semisimple complexe $G$. Nous étudions la construction d’un star produit $☆$ gradué sur $ℛ=R\left(T^{☆}X\right)$ qui correspond à une quantification $G$-équivariante des symboles vers les opérateurs différentiels tordus agissant sur les demi-formes sur $X$. Lorsque $ℛ$ est engendrée par les fonctions moment ${\mu }^x$ pour $G$, nous construisons de tels star produits $☆$, où ${\mu }^x☆\phi$ est de la forme ${\mu }^x\phi +\frac{1}{2}\{{\mu }^x,\phi \}t+{\Lambda }^x\left(\phi \right)t^2$. Les ${\Lambda }^x$ sont ici des opérateurs sur $ℛ$. Dans les exemples connus, ${\Lambda }^x$ ($x\ne 0$) n’est pas un opérateur différentiel, et le star produit ${\mu }^x☆\phi$ n’est donc pas local en $\phi$. Alors $ℛ$ est munie d’une forme hermitienne invariante définie positive et compatible avec sa graduation. L’espace complété de $ℛ$ est un nouveau modèle de type Fock de la représentation unitaire de $G$ sur les demi-densités $L^2$ sur $X$.

Let $X$ be a (generalized) flag manifold of a complex semisimple Lie group $G$. We investigate the problem of constructing a graded star product on $ℛ=R\left(T^{☆}X\right)$ which corresponds to a $G$-equivariant quantization of symbols into twisted differential operators acting on half-forms on $X$. We construct, when $ℛ$ is generated by the momentum functions ${\mu }^x$ for $G$, a preferred choice of $☆$ where ${\mu }^x☆\phi$ has the form ${\mu }^x\phi +\frac{1}{2}\{{\mu }^x,\phi \}t+{\Lambda }^x\left(\phi \right)t^2$. Here ${\Lambda }^x$ are operators on $ℛ$. In the known examples, ${\Lambda }^x$ ($x\ne 0$) is not a differential operator, and so the star product ${\mu }^x☆\phi$ is not local in $\phi$. $ℛ$ acquires an invariant positive definite inner product compatible with its grading. The completion of $ℛ$ is a new Fock space type model of the unitary representation of $G$ on $L^2$ half-densities on $X$.

Classification : 53D55, 22E46, 17B35, 53D50
Keywords: deformation quantization, flag manifold, unitary representation
Mot clés : quantification par déformation, variété de drapeaux, représentation unitaire

[AB1] A. Astashkevich; R. Brylinski Exotic Differential Operators on Complex Minimal Nilpotent Orbits, Advances in Geometry (Progress in Mathematics), Volume Vol. 172 (1998), pp. 19-51 | Zbl

[AB2] A. Astashkevich; R. Brylinski Non-Local Equivariant Star Product on the Minimal Nilpotent Orbit (e-print. To appear in Adv. Math., math.QA/0010257 v2) | MR | Zbl

[B] R. Brylinski Non-Locality of Equivariant Star Products on ${𝐓}^{*}\left(ℝ{\mathbb{P}}^n\right)$, Lett. Math. Physics, Volume 58 (2001) no. 1, pp. 21-28 | DOI | MR | Zbl

[B] R. Brylinski Non-Locality of Equivariant Star Products on ${𝐓}^{*}\left(ℝ{\mathbb{P}}^n\right)$ (e-print, math.QA/0010259)

[BKo] R. Brylinski; B. Kostant Nilpotent orbits, normality and Hamiltonian group actions, Jour. Amer. Math. Soc., Volume 7 (1994), pp. 269-298 | MR | Zbl

[BoBr] W. Borho; J-L. Brylinski Differential operators on homogeneous spaces I. Irreducibility of the associated variety for annihilators of induced modules., Invent. Math, Volume 69 (1982), pp. 437-476 | MR | Zbl

[C-BD] N. Conze-Berline; M. Duflo Sur les représentations induites des groupes semi-simples complexes, Comp. Math, Volume 34 (1977), pp. 307-336 | Numdam | MR | Zbl

[CG] M. Cahen; S. Gutt; W. Rindler and A. Trautman eds. An algebraic construction of $*$ product on the regular orbits of semi simple Lie groups, Gravitation and Geometry (1987), pp. 73-82 | Zbl

[DLO] C. Duval; P. Lecomte; V. Ovsienko Conformally equivariant quantization: existence and uniqueness, Ann. Inst. Fourier, Volume 49 (1999) no. 6, pp. 1999-2029 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[KP] H. Kraft; C. Procesi Closures of conjugacy classes of matrices are normal, Inv. Math, Volume 53 (1979), pp. 227-247 | DOI | MR | Zbl

[LO] P. B. A. Lecomte; V. Yu. Ovsienko Projectively equivariant symbol calculus, Letters in Math. Phys, Volume 49 (1999), pp. 173-196 | DOI | MR | Zbl

[V] D. A. Vogan Unitarizability of a certain series of representations, Ann. Math., Volume 120 (1984), pp. 141-187 | DOI | MR | Zbl