On certain homotopy actions of general linear groups on iterated products

Levi, Ran; Priddy, Stewart

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 6, pp. 1719-1739.

Habituellement le produit de $n$ copies d’un espace arbitraire ne soutient que l’action de permutation du groupe symétrique ${\Sigma }_n$. Cependant, si $X$ est un $H$-espace, $p$- complet, associatif et commutatif à homotopie près on peut définir une action à homotopie près de ${\mathrm{GL}}_n\left({\mathbb{Z}}_p\right)$ sur $X^n$. Dans divers cas, par exemple, si la multiplication par $p^r$ est nulle homotopique, on obtient une action à homotopie près de ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z}/p^r)$ pour certains $r$. Après une suspension cela permet de décomposer $X^n$ en utilisant des idempotents de ${𝔽}_p{\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z}/p)$ qui peuvent être relevés sur ${BbbF}_p{\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z}/p^r)$. En fait, tout ceci est possible si $X$ est un $H$-espace pour lequel l’algèbre $H_{*}(X;\mathbb{Z}/p)$ est commutative et nilpotente. Pour $n=2$ nous faisons des calculs explicites de décomposition de $\Sigma \left(\mathrm{SO}\right(4)\times \mathrm{SO}(4\left)\right)$, $\Sigma ({\Omega }^2{S}^3\times {\Omega }^2{S}^3)$,et $\Sigma (G_2\times G_2)$.

The $n$-fold product $X^n$ of an arbitrary space usually supports only the obvious permutation action of the symmetric group ${\Sigma }_n$. However, if $X$ is a $p$-complete, homotopy associative, homotopy commutative $H$-space one can define a homotopy action of ${\mathrm{GL}}_n\left({\mathbb{Z}}_p\right)$ on $X^n$. In various cases, e.g. if multiplication by $p^r$ is null homotopic then we get a homotopy action of $\mathrm{G}{L}_n(\mathbb{Z}/p^r)$ for some $r$. After one suspension this allows one to split $X^n$ using idempotents of ${𝔽}_p{\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z}/p)$ which can be lifted to ${𝔽}_p{\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z}/p^r)$. In fact all of this is possible if $X$ is an $H$-space whose homology algebra $H_{*}(X;BbbZ/p)$ is commutative and nilpotent. For $n=2$ we make some explicit calculations of splittings of $\Sigma \left(\mathrm{SO}\right(4)\times \mathrm{SO}(4\left)\right)$, $\Sigma ({\Omega }^2{S}^3\times {\Omega }^2{S}^3)$,and $\Sigma (G_2\times G_2)$.

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