Degeneration of Schubert varieties of $SL_n/B$ to toric varieties

Dehy, Raika; Yu, Rupert W.T.

doi:10.5802/aif.1864

Degeneration of Schubert varieties of

S L_{n} / B

to toric varieties
[Dégénérescence des variétés de Schubert de

S L_{n} / B

en des variétés toriques]

Dehy, Raika ¹ ; Yu, Rupert W.T.²

¹ Université de Cergy-Pontoise, Département de Mathématiques, 2 avenue Adolphe Chauvin, 95032 Cergy Cedex (France)
² Université de Poitiers, Département de Mathématiques, Boulevard Marie et Pierre Curie, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 6, pp. 1525-1538.

Résumé
Abstract

Dans cet article on montre la dégénérescence d’une large classe de variétés de Schubert dans $S L_{n} / B$ en des varietés toriques. Pour cela on utilise les résultats d’un article précédent, dans lequel pour chaque élément $w$ , du groupe de Weyl, on construit $n - 1$ polytopes $Δ_{1} ... Δ_{n - 1}$ ayant la propriété suivante : le nombre des points à coordonnées entières dans $\sum k_{i} Δ_{i}$ est la dimension, comme espace vectoriel sur $ℂ$ , du module de Demazure $E_{w} (\sum k_{i} w_{i})$ , où les $w_{i}$ désignent les poids fondamentaux de $S L_{n} (ℂ)$ . Or la donnée de $n - 1$ polytopes est équivalente à la donnée d’une variété torique munie de $n - 1$ fibrés en droite $ℒ_{1} ... ℒ_{n - 1}$ . L’objectif est de trouver une déformation plate de la variété de Schubert $S_{w}$ , munie des fibrés en droites $ℒ_{w}$ en la variété torique $X$ munie des $ℒ_{i}$ . La démonstration est basée sur un théorème dû à Gonciulea- Lakshmibai impliquant la construction d’un treillis distributif sur un sous-ensemble du groupe de Weyl. L’avantage de cette approche est que d’un côté l’algèbre associée à ce treillis est étroitement liée à la variété torique $X$ et de l’autre côté on sait comment dégénérer l’anneau des coordonnées homogènes sur $S_{w}$ en cette algèbre.

Using the polytopes defined in an earlier paper, we show in this paper the existence of degeneration of a large class of Schubert varieties of $S L_{n}$ to toric varieties by extending the method used by Gonciulea and Lakshmibai for a miniscule $G / P$ to Schubert varieties in $S L_{n}$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1864

Classification : 14M15, 14M25, 06D05
Keywords: Schubert varieties, toric varieties, flat deformations
Mot clés : variétés de Schubert, variétés toriques, déformations plates

Affiliations des auteurs :

Dehy, Raika ¹ ; Yu, Rupert W.T. ²

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TY  - JOUR
AU  - Dehy, Raika
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Dehy, Raika; Yu, Rupert W.T. Degeneration of Schubert varieties of $SL_n/B$ to toric varieties. Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 6, pp. 1525-1538. doi : 10.5802/aif.1864. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1864/

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