Points entiers et théorèmes de Bertini arithmétiques
Autissier, Pascal1
1 Université Paris-Sud, Mathématiques, Bâtiment 425, 91405 Orsay Cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 6, pp. 1507-1523.
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On décrit dans cet article une version effective d'un théorème de Rumely : on peut trouver beaucoup de points entiers sur des ouverts (assez grands) de variétés arithmétiques, tout en contrôlant la hauteur de ces points. On applique ensuite ce résultat :\par - aux modèles de variétés abéliennes;\par - à la démonstration d'un analogue arithmétique des théorèmes de Bertini.

In this paper, an effective version of Rumely's theorem is described: a lot of integral points can be found on (large enough) open sets of arithmetic varieties, with a bound of the height of these points. This result is then applied:\par - to models of abelian varieties;\par - to prove an arithmetic analog of Bertini's theorems.

DOI : 10.5802/aif.1863
Classification : 14G40, 11G50, 11G10
Mot clés : point entier, hauteur, variété arithmétique, théorème de Bertini, variété abélienne
Keywords: integral point, height, arithmetic variety, Bertini's theorem, abelian variety
Autissier, Pascal 1

1 Université Paris-Sud, Mathématiques, Bâtiment 425, 91405 Orsay Cedex (France) 
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Autissier, Pascal. Points entiers et théorèmes de Bertini arithmétiques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 6, pp. 1507-1523. doi : 10.5802/aif.1863. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1863/

[1] A. Abbes Hauteurs et discrétude, Astérisque, Volume 245 (1997), pp. 141-166 | Numdam | MR | Zbl

[2] P. Autissier Points entiers sur les surfaces arithmétiques, Journal für die reine und angew. Math., Volume 531 (2001), pp. 201-235 | DOI | MR | Zbl

[3] J.B. Bost; H. Gillet; C. Soulé Heights of projective varieties and positive Green forms, Journal of the AMS, Volume 7 (1994), pp. 903-1027 | MR | Zbl

[4] T. Chinburg; R. Rumely Well-adjusted models for curves over Dedekind rings, Progress in Math., Volume 89 (1991), pp. 3-24 | MR | Zbl

[5] D. Eisenbud; J. Harris The geometry of schemes, Graduate Texts in Math., Volume 197 (2000) | Zbl

[6] R. Erné Reducibility mod p of hypersurfaces in projective spaces - an application of arithmetic Bézout, Journal of Number Theory, Volume 84 (2000), pp. 305-316 | DOI | MR | Zbl

[7] H. Gillet; C. Soulé An arithmetic Riemann-Roch theorem, Inventiones Math., Volume 110 (1992), pp. 473-543 | DOI | MR | Zbl

[8] A. Grothendieck; J. Dieudonné Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III., Publications Math. de l'IHES, Volume 28 (1966) | Numdam | MR | Zbl

[9] J.P. Jouanolou Théorèmes de Bertini et applications, Progress in Math., Volume 42 (1983) | MR | Zbl

[10] S. Lang Introduction to Arakelov theory, Springer-Verlag, 1988 | MR

[11] L. Moret-Bailly Métriques permises, Astérisque, Volume 127 (1985), pp. 29-87 | Numdam | MR

[12] L. Moret-Bailly Points entiers des variétés arithmétiques, Progress in Math., Volume 71 (1987), pp. 147-154 | MR | Zbl

[13] L. Moret-Bailly Groupes de Picard et problèmes de Skolem I, Annales Scientifiques de l'ENS, Volume 22 (1989), pp. 161-179 | Numdam | MR | Zbl

[14] A. Moriwaki Arithmetic Bogomolov-Gieseker's inequality, American Journal of Math., Volume 117 (1995), pp. 1325-1347 | DOI | MR | Zbl

[15] R. Rumely Arithmetic over the ring of all algebraic integers, Journal für die reine und angew Math., Volume 368 (1986), pp. 127-133 | DOI | MR | Zbl

[16] L. Szpiro; E. Ullmo; S. Zhang Équirépartition des petits points, Inventiones Math., Volume 127 (1997), pp. 337-347 | DOI | MR | Zbl

[17] E. Ullmo Points entiers, points de torsion et amplitude arithmétique, American Journal of Math., Volume 117 (1995), pp. 1039-1055 | DOI | MR | Zbl

[18] S. Zhang Positive line bundles on arithmetic varieties, Journal of the AMS, Volume 8 (1995), pp. 187-221 | MR | Zbl

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