The resolvent for Laplace-type operators on asymptotically conic spaces

Hassell, Andrew; Vasy, András

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 5, pp. 1299-1346.

Soient $X$ une variété compacte à bord, et $g$ une métrique de diffusion sur $X$ qui est soit à courte portée, soit à longue portée du type gravitationnel. Alors $(X,g)$ est une variété riemannienne complète asymptotiquement conique. Nous considérons l’opérateur $H=\Delta +P$, où $\Delta$ est le laplacien de $g$ et $P$ est un opérateur différentiel de diffusion du premier ordre (formellement) auto-adjoint à coefficients s’annulant sur $\partial X$ et satisfaisant une condition gravitationnelle. Nous définissons un calcul symbolique pour les distributions de Legendre sur les variétés compactes à coins de codimension deux, et nous l’utilisons pour une construction directe du noyau de la résolvante de $H$, $R(\sigma +i0)$, pour $\sigma >0$. Cette approche n’utilise pas le principe d’absorption limite. Au lieu de cela nous construisons une paramétrixe qui satisfait l’équation de la résolvante à un terme d’erreur compacte près qui est éliminé grâce à la théorie de Fredholm.

Let $X$ be a compact manifold with boundary, and $g$ a scattering metric on $X$, which may be either of short range or “gravitational” long range type. Thus, $g$ gives $X$ the geometric structure of a complete manifold with an asymptotically conic end. Let $H$ be an operator of the form $H=\Delta +P$, where $\Delta$ is the Laplacian with respect to $g$ and $P$ is a self-adjoint first order scattering differential operator with coefficients vanishing at $\partial X$ and satisfying a “gravitational” condition. We define a symbol calculus for Legendre distributions on manifolds with codimension two corners and use it to give a direct construction of the resolvent kernel of $H$, $R(\sigma +i0)$, for $\sigma$ on the positive real axis. In this approach, we do not use the limiting absorption principle at any stage; instead we construct a parametrix which solves the resolvent equation up to a compact error term and then use Fredholm theory to remove the error term.

Classification : 35P25, 58J40
Keywords: Legendre distributions, symbol calculus, scattering metrics, resolvent kernel
Mot clés : distributions de Legendre, calcul symbolique, métriques de diffusion, noyau résolvant

[1] C. Gérard; H. Isozaki; E. Skibsted Commutator algebra and resolvent estimates, Advanced Studies in Pure Mathematics, Volume vol. 23 (1994) | MR | Zbl

[2] A. Hassell Distorted plane waves for the 3 body Schrödinger operator, Geom. Funct. Anal., Volume 10 (2000), pp. 1-50 | DOI | MR | Zbl

[3] A. Hassell; A. Vasy Symbolic functional calculus and N-body resolvent estimates, J. Funct. Anal., Volume 173 (2000), pp. 257-283 | DOI | MR | Zbl

[4] A. Hassell; A. Vasy The spectral projections and the resolvent for scattering metrics, J. d'Anal. Math., Volume 79 (1999), pp. 241-298 | DOI | MR | Zbl

[5] A. Hassell; A. Vasy Legendrian distributions on manifolds with corners (In preparation)

[6] L. Hörmander Fourier integral operators, I, Acta Mathematica, Volume 127 (1971), pp. 79-183 | DOI | MR | Zbl

[7] L. Hörmander The analysis of linear partial differential operators, III, Springer, 1983 | MR | Zbl

[8] R. B. Melrose Calculus of conormal distributions on manifolds with corners, International Mathematics Research Notices (1992) no. 3, pp. 51-61 | DOI | MR | Zbl

[9] R. B. Melrose The Atiyah-Patodi-Singer index theorem, A. K. Peters, Wellesley, MA, 1993 | MR | Zbl

[10] R. B. Melrose Spectral and scattering theory for the Laplacian on asymptotically Euclidian spaces, Marcel Dekker, 1994 | MR | Zbl

[11] R. B. Melrose; G. Uhlmann Lagrangian Intersection and the Cauchy problem, Comm. Pure and Appl. Math., Volume 32 (1979), pp. 483-519 | DOI | MR | Zbl

[12] R. B. Melrose; M. Zworski Scattering metrics and geodesic flow at infinity, Inventiones Mathematicae, Volume 124 (1996), pp. 389-436 | DOI | MR | Zbl

[13] A. Vasy Geometric scattering theory for long-range potentials and metrics, Int. Math. Res. Notices (1998), pp. 285-315 | DOI | MR | Zbl

[14] J. Wunsch; M. Zworski Distribution of resonances for asymptotically euclidean manifolds (To appear in J. Diff. Geom.) | MR | Zbl