The resolvent for Laplace-type operators on asymptotically conic spaces

Hassell, Andrew; Vasy, András

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 5, pp. 1299-1346.

Soient $X$ une variété compacte à bord, et $g$ une métrique de diffusion sur $X$ qui est soit à courte portée, soit à longue portée du type gravitationnel. Alors $(X,g)$ est une variété riemannienne complète asymptotiquement conique. Nous considérons l’opérateur $H=\Delta +P$, où $\Delta$ est le laplacien de $g$ et $P$ est un opérateur différentiel de diffusion du premier ordre (formellement) auto-adjoint à coefficients s’annulant sur $\partial X$ et satisfaisant une condition gravitationnelle. Nous définissons un calcul symbolique pour les distributions de Legendre sur les variétés compactes à coins de codimension deux, et nous l’utilisons pour une construction directe du noyau de la résolvante de $H$, $R(\sigma +i0)$, pour $\sigma >0$. Cette approche n’utilise pas le principe d’absorption limite. Au lieu de cela nous construisons une paramétrixe qui satisfait l’équation de la résolvante à un terme d’erreur compacte près qui est éliminé grâce à la théorie de Fredholm.

Let $X$ be a compact manifold with boundary, and $g$ a scattering metric on $X$, which may be either of short range or “gravitational” long range type. Thus, $g$ gives $X$ the geometric structure of a complete manifold with an asymptotically conic end. Let $H$ be an operator of the form $H=\Delta +P$, where $\Delta$ is the Laplacian with respect to $g$ and $P$ is a self-adjoint first order scattering differential operator with coefficients vanishing at $\partial X$ and satisfying a “gravitational” condition. We define a symbol calculus for Legendre distributions on manifolds with codimension two corners and use it to give a direct construction of the resolvent kernel of $H$, $R(\sigma +i0)$, for $\sigma$ on the positive real axis. In this approach, we do not use the limiting absorption principle at any stage; instead we construct a parametrix which solves the resolvent equation up to a compact error term and then use Fredholm theory to remove the error term.

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