Iterates and the boundary behavior of the Berezin transform

Arazy, Jonathan; Engliš, Miroslav

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 4, pp. 1101-1133.

Soit $\mu$ une mesure sur un domaine $\Omega$ de ${ℂ}^n$ tel que l’espace de Bergman des fonctions holomorphes dans $L^2(\Omega ,\mu )$ possède un noyau reproduisant $K(x,y)$ et que $K(x,x)>0,\forall x\in \Omega$. La transformation de Berezin associée à $\mu$ est l’opérateur intégral

$$Bf\left(y\right)=K{(y,y)}^{-1}{\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|K(x,y)\right|}^{2}d\mu \left(x\right).$$

Le nombre $Bf\left(y\right)$ peut être interprété comme une valeur moyenne de $f$ au voisinage de $y$, et les fonctions satisfaisant à $Bf=f$ comme des fonctions ayant une certaine propriété de moyenne. Dans cet article nous étudions le comportement de $Bf$ à la frontière, l’existence de fonctions $f$ satisfaisant à $Bf=f$ et prenant une valeur au bord donnée, et la convergence des itérations $B^{k}f$, $k\to \infty$. Les meilleurs résultats sont obtenus pour des domaines à frontières lisses strictement pseudo-convexes $\Omega$ munis d’une mesure $\mu$ comme ci-dessus, et pour des domaines bornés symétriques $\Omega$ et $\mu$ l’une des mesures standard invariantes par rotation. Nous étudions également les opérateurs de convolution $B_{\mu }f=f*\mu$ sur un domaine borné symétrique $\Omega =G/K$ muni d’une mesure de probabilité absolument continue $K$- invariante $\mu$, et le comportement des symétries géodésiques ${\phi }_a$ de $\Omega$ lorsque $a$ tend vers la frontière.

Let $\mu$ be a measure on a domain $\Omega$ in ${ℂ}^n$ such that the Bergman space of holomorphic functions in $L^2(\Omega ,\mu )$ possesses a reproducing kernel $K(x,y)$ and $K(x,x)>0$ $\forall x\in \Omega$. The Berezin transform associated to $\mu$ is the integral operator

$$Bf\left(y\right)=K{(y,y)}^{-1}{\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|K(x,y)\right|}^{2}d\mu \left(x\right).$$

The number $Bf\left(y\right)$ can be interpreted as a certain mean value of $f$ around $y$, and functions satisfying $Bf=f$ as functions having a certain mean-value property. In this paper we investigate the boundary behavior of $Bf$, the existence of functions $f$ satisfying $Bf=f$ and having prescribed boundary values, and the convergence of the iterates $B^{k}f$, $k\to \infty$. The best results are obtained for smoothly bounded strictly pseudoconvex domains $\Omega$ with any measure $\mu$ as above, and for bounded symmetric domains $\Omega$ and $\mu$ one of the standard rotation-invariant measures on them. We also carry out similar investigation for convolution operators $B_{\mu }f=f*\mu$ on a bounded symmetric domain $\Omega =G/K$ with a $K$-invariant absolutely continuous probability measure $\mu$, and study the behavior of the geodesic symmetries ${\phi }_a$ of $\Omega$ as $a$ tends to the boundary.

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