Cônes asymptotiques et invariants de quasi-isométrie pour les espaces métriques hyperboliques

Drutu, Cornelia

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 1, pp. 81-97.

On utilise l'équivalence due à M. Gromov entre l'hyperbolicité d'un espace métrique géodésique et le fait que ses cônes asymptotiques sont des arbres réels. Ce résultat permet tout d'abord de donner une nouvelle preuve du fait que l'inégalité isopérimétrique sous-quadratique implique l'hyperbolicité. Les avantages de cette preuve sont qu'elle est très courte et qu'elle utilise une seule propriété de la fonction aire de remplissage des courbes fermées, l'inégalité du quadrilatère. On trouve aussi d'autres propriétés métriques équivalentes à l'hyperbolicité. Par exemple on montre que l'hyperbolicité est équivalente au fait que le rayon de remplissage est d'ordre logarithmique. D'ailleurs il suffit de demander que le rayon de remplissage soit sous-linéaire pour avoir l'hyperbolicité de l'espace et l'ordre logarithmique du rayon de remplissage. Les mêmes affirmations restent vraies si on remplace le rayon de remplissage par une autre fonction, l'étranglement des courbes.

We use the equivalence due to M. Gromov between the hyperbolicity of a geodesic metric space and the fact that its asymptotic cones are real trees. This result allows us first of all to provide a new proof of the fact that subquadratic isoperimetric inequality implies hyperbolicity. This proof has the advantages of being very short and of using only one property of the filling area of loops, i.e., the quadrangle inequality. We also find other metric properties equivalent to hyperbolicity. For instance we prove that hyperbolicity is equivalent to the fact that the filling radius has logarithmic order. Moreover it suffices for the filling radius to be sublinear in order to have the filling radius. The same statements are true for another function, the constriction of loops.

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