Local Borcherds products

Bruinier, Jan Hendrik; Freitag, Eberhard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 1, pp. 1-26.

On calcule le groupe de Picard local en un point générique de la limite de Baily-Borel de dimension 1 d’un quotient symétrique hermitien de type $\mathrm{O}(2,n)$. Le principal ingrédient est une version locale des produits automorphes de Borcherds. Les obstructions locales pour qu’un diviseur de Heegner soit principal sont données par certaines séries thêta à des coefficients harmoniques. Elles engendrent dans certains cas l’espace de Borcherds des obstructions globales. Dans ces cas particuliers, nous obtenons une preuve simple d’un résultat dû au premier auteur : supposons que $\Gamma \subset \mathrm{O}(2,n)$ soit le groupe orthogonal attaché à un réseau unimodulaire pair. Alors, chaque forme modulaire méromorphe pour $\Gamma$, dont les zéros et les pôles s’étendent sur les diviseurs de Heegner, est donnée par un produit de Borcherds.

The local Picard group at a generic point of the one-dimensional Baily-Borel boundary of a Hermitean symmetric quotient of type $\mathrm{O}(2,n)$ is computed. The main ingredient is a local version of Borcherds’ automorphic products. The local obstructions for a Heegner divisor to be principal are given by certain theta series with harmonic coefficients. Sometimes they generate Borcherds’ space of global obstructions. In these particular cases we obtain a simple proof of a result due to the first author: Suppose that $\Gamma \subset \mathrm{O}(2,n)$ is the orthogonal group attached to an even unimodular lattice. Then every meromorphic modular form for $\Gamma$, whose zeros and poles lie on Heegner divisors, is given by a Borcherds product.

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