Sur la stabilité des couches limites de viscosité

Serre, Denis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 51 (2001) no. 1, pp. 109-130.

Pour un système parabolique de lois de conservation, nous considérons le problème mixte, dans le domaine $x>0$. Pour une condition de Dirichlet, le système admet en général des solutions stationnaires $U\left(x\right)$, qui tendent vers une limite en $+\infty$. Ce sont les profils des couches limites, dans l’approximation du second ordre, pour le système hyperbolique du premier ordre sous-jacent. La stabilité de cette couche limite est liée à la stabilité linéaire asymptotique de $U$. On étudie celle-ci au moyen d’une fonction d’Evans, fonction holomorphe de $z$ ($\Re z>0$), à valeurs réelles pour $z$ réel, qu’on peut prolonger analytiquement au voisinage de l’origine. Dans certains cas, il est possible de calculer sa valeur en $z=0$, de la relier à son signe près de l’infini, et d’en déduire la parité de l’ensemble des valeurs propres instables. En particulier, on construit explicitement une couche limite instable, ce qui éclaircit l’hypothèse de petitesse rencontrée dans les théorèmes de stabilité connus, dûs à Gisclon- Serre (1994) et Grenier-Guès (1998).

We consider viscous systems of conservation laws, posed on a half-space $x>0$. The initial-boundary value problem, with a Dirichlet boundary data, may admit steady solutions which tend to some constant as $x\to +\infty$. Such a solution $U$ may be viewed as the profile of a boundary layer in the viscous approximation of the underlying first order system of conservation laws. The stability of this layer is closely tied with the linear asymptotic stability of $U$. To study this stability, we define a kind of Evans function. This is a holomorphic function defined on $\Re z>0$, which takes real values on the real axis and can be analytically extended to a neighbourhood of the origin. In some cases, we are able to compute its value for $z=0$, and to relate it to its signum near $+\infty$. Therefore we obtain an index in $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, which equals the parity of the set of unstable eigenvalues. This allows us to built explicit examples of unstable boundary layers. This explains the smallness assumption encountered by Gisclon-Serre (1994) and Grenier-Guès (1998), when proving stability theorems.

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