Fefferman's SAK principle in one dimension

Hérau, Frédéric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 4, pp. 1229-1264.

On donne dans cet article une preuve complète en dimension 1 d’une inégalité a priori entre opérateurs pseudo-différentiels : si $a$ et $b$ sont deux symboles dans $S_{1,0}^2$ satisfaisant l’inégalité $\left|a\right|\le b$, alors pour tout $ϵ>0$ on a l’estimation $\parallel a^{w}u{\parallel }_s^2\le C_{ϵ}(\parallel b^{w}u{\parallel }_s^2+\parallel u{\parallel }_{s+ϵ}^2)$ pour tout $u$ dans l’espace de Schwartz, où $\parallel {\parallel }_t$ désigne la norme $H_t$ usuelle. On utilise des niveaux I, II et III de microlocalisation dans l’esprit du “SAK principle” de Fefferman.

In this article we give a complete proof in one dimension of an a priori inequality involving pseudo-differential operators: if $a$ and $b$ are symbols in $S_{1,0}^2$ such that $\left|a\right|\le b$, then for all $ϵ>0$ we have the estimate $\parallel a^{w}u{\parallel }_s^2\le C_{ϵ}(\parallel b^{w}u{\parallel }_s^2+\parallel u{\parallel }_{s+ϵ}^2)$ for all $u$ in the Schwartz space, where $\parallel {\parallel }_t$ is the usual $H_t$ norm. We use microlocalization of levels I, II and III in the spirit of Fefferman’s SAK principle.

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