Systèmes aux $q$-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie

Sauloy, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 50 (2000) no. 4, pp. 1021-1071.

G.D. Birkhoff a posé, par analogie avec le cas classique des équations différentielles, le problème de Riemann-Hilbert pour les systèmes “fuchsiens” aux $q$-différences linéaires, à coefficients rationnels. Il l’a résolu dans le cas générique: l’objet classifiant qu’il introduit est constitué de la matrice de connexion $P$ et des exposants en $0$ et $\infty$. Nous reprenons sa méthode dans le cas général, mais en traitant symétriquement $0$ et $\infty$ et sans recours à des solutions à croissance “sauvage”. Lorsque $q$ tend vers $1$, $P$ tend vers une matrice localement constante $\tilde{P}$ telle que les valeurs (en nombre fini) $\tilde{P}(a{)}^{-1}\tilde{P}\left(b\right)$ sont les matrices de monodromie du système différentiel limite (supposé non résonnant en $0$ et $\infty$) en les singularités de ${ℂ}^{*}$.

G.D. Birkhoff extended the classical Riemann-Hilbert problem for differential equations to the case of “fuchsian” linear $q$-difference systems with rational coefficients. He solved it in the generic case: the classifying object which he introduces is made up of the connection matrix $P$, together with the exponents at $0$ and $\infty$. We follow his method in the general case, but treat symmetrically $0$ and $\infty$ and use no “wildly” growing solutions. When $q$ tends to $1$, $P$ tends to a locally constant matrix $\tilde{P}$ such that the (finitely many) values $\tilde{P}(a{)}^{-1}\tilde{P}\left(b\right)$ are the monodromy matrices of the limiting differential system (assumed to be non resonant at $0$ and $\infty$) at the singularities on ${ℂ}^{*}$.

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