Variétés de modules alternatives

Drezet, Jean-Marc

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 57-139.

Soit $X$ une variété algébrique projective lisse irréductible. On appelle variété de modules fins de faisceaux sur $X$ une famille $ℱ$ de faisceaux cohérents sur $X$ paramétrée par une variété intègre $M$, possédant les propriétés suivantes : $ℱ$ est plate sur $M$; pour tous $x,y\in M$ distincts, les faisceaux ${ℱ}_x$ et ${ℱ}_y$ sur $X$ ne sont pas isomorphes et $ℱ$ est une déformation complète de ${ℱ}_x$; enfin $ℱ$ possède une propriété universelle locale évidente. On a aussi la notion de variété de modules fins définie localement, où $ℱ$ est remplacée par une famille $({ℱ}_i),{ℱ}_i$ étant définie sur un ouvert $U_i$ de $M$, les $U_i$ recouvrant $M$. Cet article est consacré à l’étude de ces variétés de modules. On commence par donner des résultats théoriques généraux. On étudie ensuite trois types de variétés de modules fins sur le plan projectif : les variétés de modules de faisceaux prioritaires, celles qui sont constituées de faisceaux simples de rang 1, et celles qui proviennent de variétés de modules de morphismes. Dans le premier cas, on donne des exemples de variétés de modules fins définies localement mais non globalement, dans le second des exemples de variétés de modules fins maximales mais non projectives, et dans le troisième on trouve une variété de modules fins projective, constituée de faisceaux simples sans torsion, contenant des faisceaux stables, mais distincte de la variété de modules de faisceaux stables correspondante.

Let $X$ be a projective irreducible smooth algebraic variety. A fine moduli space of sheaves on $X$ is a family $ℱ$ of coherent sheaves on $X$ parametrized by an integral variety $M$ such that : $ℱ$ is flat on $M$; for all distinct points $x,y$ of $M$ the sheaves ${ℱ}_x$, ${ℱ}_y$ on $X$ are not isomorphic and $ℱ$ is a complete deformation of ${ℱ}_x$; the family $ℱ$ has an obvious local universal property. We define also a fine moduli space defined locally, where $ℱ$ is replaced by a family $\left({ℱ}_i\right)$, where ${ℱ}_i$ is defined on an open subset $U_i$ of $M$, the $U_i$ covering $M$. This paper is devoted to the study of such fine moduli spaces. We first give some general results, and apply them in three cases on the projective plane : the fine moduli spaces of prioritary sheaves, the fine moduli spaces consisting of simple rank 1 sheaves, and those which come from moduli spaces of morphisms. In the first case we give an example of a fine moduli space defined locally but not globally, in the second an example of a maximal non projective fine moduli space, and in the third we find a projective fine moduli space consisting of simple torsion free sheaves, containing stable sheaves, but which is different from the corresponding moduli space of stable sheaves.

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