The trace of the generalized harmonic oscillator

Wunsch, Jared

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 351-373.

On étudie une généralisation géométrique de l’équation de Schrödinger dépendant du temps pour l’oscillateur harmonique

$$\left(D_t+\frac{1}{2}\Delta +V\right)\psi =0,(0.1)$$

où $\Delta$ est l’opérateur de Laplace-Beltrami associé à une “métrique scattering” sur une variété compacte $M$ à bord (la classe des métriques scattering est une généralisation des métriques asymptotiquement euclidiennes sur ${ℝ}^n$, compactifié radialement en une boule) et $V$ est une perturbation de $\frac{1}{2}{\omega }^2{x}^{-2}$, où $x$ est une fonction qui définit le bord de $M$ ( par exemple, $x=1/r$ dans le cas euclidien compactifié). En employant le front d’onde quadratique-scattering, une généralisation du front d’onde de Hörmander qui mesure les oscillations sur $\partial M$ ainsi que les singularités, on décrit un théorème de propagation des singularités pour les solutions de (0.1). Ceci permet de démontrer le théorème de trace suivant : soit

$$S_{\omega }=\left\{\frac{L}{\omega };\text{il}\text{existe}\text{une}\text{géodésique}\text{fermée}\text{dans}\partial M\text{de}\text{longueur}\pm L\right\}\cup$$

$$\left\{\frac{n\pi }{\omega };\text{il}\text{existe}\text{un}n\text{-polygone}\text{géodésique}\text{dans}M,\text{à}\text{sommets}\text{sur}\partial M\right\}\cup \left\{0\right\}.$$

Soit $U\left(t\right)={\mathrm{e}}^{it(\frac{1}{2}\Delta +V)}$ l’opérateur solution du problème de Cauchy pour (0.1). Alors sous une hypothèse de non-captivité pour le flot géodésique sur $\stackrel{\circ }{M}$, on a

$$\mathrm{supp}\mathrm{sing}\mathrm{Tr}U\left(t\right)\subset S_{\omega },$$

où $\mathrm{Tr}U\left(t\right)$ est la distribution qu’on obtient en intégrant le noyau de Schwartz de $U\left(t\right)$ sur la diagonale de $M\times M$, ou bien en prenant ${\sum }_j{\mathrm{e}}^{-it{\lambda }_j}$, où les ${\lambda }_j$ sont les valeurs propres de $\frac{1}{2}\Delta +V$.

We study a geometric generalization of the time-dependent Schrödinger equation for the harmonic oscillator

$$\left(D_t+\frac{1}{2}\Delta +V\right)\psi =0(0.1)$$

where $\Delta$ is the Laplace-Beltrami operator with respect to a “scattering metric” on a compact manifold $M$ with boundary (the class of scattering metrics is a generalization of asymptotically Euclidean metrics on ${ℝ}^n$, radially compactified to the ball) and $V$ is a perturbation of $\frac{1}{2}{\omega }^2{x}^{-2}$, with $x$ a boundary defining function for $M$ (e.g. $x=1/r$ in the compactified Euclidean case). Using the quadratic-scattering wavefront set, a generalization of Hörmander’s wavefront set that measures oscillation at $\partial M$ as well as singularities, we describe a propagation of singularities theorem for solutions of (0.1). This enables us to prove the following trace theorem : let

$$S_{\omega }=\left\{\frac{L}{\omega }:\text{there}\text{exists}\text{a}\text{closed}\text{geodesic}\text{in}\partial M\text{of}\text{length}\pm L\right\}$$

$$\cup \left\{\frac{n\pi }{\omega }:\text{there}\text{exists}\text{a}\text{geodesic}n\text{-gon}\text{in}M\text{with}\text{vertices}\partial M\right\}\cup \left\{0\right\}.$$

Let $U\left(t\right)={\mathrm{e}}^{it(\frac{1}{2}\Delta +V)}$ be the solution operator to the Cauchy problem for (0.1). Then under a non-trapping assumption for the geodesic flow on $\stackrel{\circ }{M}$, we have

$$\mathrm{supp}\mathrm{sing}\mathrm{Tr}U\left(t\right)\subset S_{\omega },$$

where $\mathrm{Tr}U\left(t\right)$ is the distribution given by integrating the Schwartz kernel of $U\left(t\right)$ over the diagonal in $M\times M$ or, alternatively, by ${\sum }_j{\mathrm{e}}^{-it{\lambda }_j}$, where ${\lambda }_j$ are the eigenvalues of $\frac{1}{2}\Delta +V$.

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